Заполнипропускиврешенииизапишиответ

Сферакасаетсягранейдвугранногоугла \(120^\circ\) .Найдирадиуссферыирасстояниемеждуточкамикасания, еслирасстояниеотцентрасферыдоребрадвугранногоугларавно \(a\) .(Задача \(386\) учебника).

Решение.

Пустьполуплоскости \(\alpha\) и \(\beta\) — граниданногодвугранногоугла, прямая \(m\) — реброэтогоугла, аточка \(O\) — центрсферы, касающейсягранейдвугранногоуглавточках \(A\) и \(B\) .Тогда \(OA\perp\alpha\) , \(OB\perp\beta\) (таккакрадиус, проведённыйвточкукасаниясферыиплоскости, перпендикуляренкэтойплоскости).

Проведёмчерезпересекающиесяпрямые \(OA\) и \(OB\) плоскость \(\gamma\) .Онапересечётребро \(m\) внекоторойточке \(C\) .

1. \(m\perpOA\) , таккак \(OA\) — [радиус|периметр|касательная], аналогично \(m\perp\) [ ], поэтому \(m\perp\gamma\) (попризнакуперпендикулярностипрямойиплоскости). Отсюдаследует, чтоугол \(ACB\) — линейный[отрезок|угол], т.е. \(\angleACB=\) [ ] \(^\circ\) , а \(OC=\) [ ].
2. Точка \(O\) равноудаленаотсторонугла \(ACB\) , таккак \(OA\) \(=\) [ ] \(=R\) , где \(R\) — радиуссферы, следовательно, оналежитнаего[сечении|вершине|грани|биссектриса], т.е. \(\angleOCB=\) [ ] \(^\circ\) .Из[прямоугольного|остроугольного|тупоугольного]треугольника \(OCB\) находим: \(OB=R=\) [ ], \(BC=\) [ ].Аналогичнополучаем \(AC=\) [ ].
3. Изравнобедренноготреугольника \(ACB\) , вкотором \(AC=\) [ ] \(=\) [ ], \(\angleACB=\) [ ] \(^\circ\) , находим: \(AB=2\cdotAC\cdot\sin\) [ ] \(^\circ\) \(=\) [ ].

Ответ: [ ],[ ].