Плоскость \alpha касается сферы в точке A. Докажи, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью \alpha, имеют равные радиусы. Доказательство. Пусть секущая плоскость \beta, проведённая через точку A, лежащую на сфере с центром O и радиусом R, образует угол \varphi с плоскостью \alpha, касающейся этой сферы в точке A. Тогда OA \perp . Пусть O_{1} — центр, r — радиус полученного сечения, l — линия пересечения плоскостей \alpha и β, O_{1}H — перпендикуляр к плоскости \alpha. Так как l \perp O_{1}A (l — к окружности с центром O_{1}, O_{1}A — радиус , проведённый в касания), то l \perp HA (теорема ). Поэтому \angle = \phi (линейный между ). Поскольку OA \perp \alpha и O_{1}H \perp \alpha, то OA O_{1}H, и, следовательно, отрезки AH, O_{1}A и OA лежат в одной , а значит, \angle OAO_{1}= . Из треугольника AO_{1}O получаем r = O_{1}A = = r_{окр.\:с\: центром\: O_{1}}. Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью \beta, зависит лишь от радиуса и угла между . Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью \alpha, имеют равные радиусы.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполнипропускивдоказательстве

Плоскость \(\alpha\) касаетсясферывточке \(A\) .Докажи, чтосечениясферыплоскостями, проходящимичерезточку \(A\) иобразующимиравныеуглысплоскостью \(\alpha\) , имеютравныерадиусы.

Доказательство.

Пустьсекущаяплоскость \(\beta\) , проведённаячерезточку \(A\) , лежащуюнасфересцентром \(O\) ирадиусом \(R\) , образуетугол \(\varphi\) сплоскостью \(\alpha\) , касающейсяэтойсферывточке \(A\) .Тогда \(OA\perp\) [ ].Пусть \(O\_{1}\) — центр, \(r\) — радиусполученногосечения, \(l\) — линияпересеченияплоскостей \(\alpha\) и \(β\) , \(O\_{1}H\) — перпендикуляркплоскости \(\alpha\) .

  1. Таккак \(l\perpO\_{1}A(l\) — [параллельная|секущая|касательная]кокружностисцентром \(O\_{1}\) , \(O\_{1}A\) — радиус[окружности|сферы], проведённыйв[ ]касания), то \(l\perpHA\) (теорема[Пифагора|о трёх перпендикулярах|вписанной окружности] \()\) .Поэтому \(\angle\) [ ] \(=\phi\) (линейный[угол|отрезок]между[ ]).
  2. Поскольку \(OA\perp\alpha\) и \(O\_{1}H\perp\alpha\) , то \(OA\) [ ] \(O\_{1}H\) , и, следовательно, отрезки \(AH\) , \(O\_{1}A\) и \(OA\) лежатводной[площади|сфере|плоскости], азначит, \(\angleOAO\_{1}=\) [ ].
  3. Из[прямоугольного|правильного|остроугольного]треугольника \(AO\_{1}O\) получаем \(r=O\_{1}A=\) [ ] \(=r\_{окр.\:с\: центром\: O\_{1}}\) .
  4. Итак, радиусокружности, полученнойвсечениисферыплоскостью \(\beta\) , зависитлишьотрадиуса[эллипса|круга|сферы]иугламежду[плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) |сечением и плоскостью|окружностью и сечением].Отсюдаследует, чтосечениясферыплоскостями, проходящимичерезточку \(A\) иобразующимиравныеуглысплоскостью \(\alpha\) , имеютравныерадиусы.

Тот же тест