Основано на упр.38, стр.28 Выбери верные варианты и заполни пропуски Докажи, что через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит сфера, и притом только одна. Доказательство. Пусть данные точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Через любые три из них, например, через точки A, B и C, проведём плоскость \alpha и в ней отметим точку O_{1} — центр окружности,. Множество всех точек пространства, равноудалённых от точек A , B и C, есть прямая l, проходящая через окружности, описанной около треугольника , и перпендикулярная плоскости . Множеством всех точек пространства, равноудалённых от двух точек, например A и D, является плоскость b, перпендикулярная отрезку и проходящая через его . Докажем, что прямая l пересекается с плоскостью \beta. Предположим, что прямая l не пересекает плоскость \beta. Тогда l \perp \beta либо l \subset \beta, и так как l\perp , то \beta \perp . Отсюда следует, что AD \subset (поскольку AD \perp и A \in ), а значит, все данные точки A, B, C и D лежат в , что противоречит условию. Итак, прямая l пересекает плоскость \beta в некоторой точке O. Точка O равноудалена от A, , B, D и, следовательно, является центром сферы, проходящей через точки A, B, C, . Единственность сферы, проходящей через точки A, B, C и D, следует из того, что центр такой сферы лежит как на прямой l, так и в плоскости \beta и, следовательно, совпадает с точкой O.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.38, стр.28
Выбериверныевариантыизаполнипропуски

Докажи, чточерезчетыреточки, нележащиеводнойплоскости, проходитсфера, ипритомтолькоодна.

Доказательство.

Пустьданныеточки \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) нележатводнойплоскости.Черезлюбыетриизних, например, черезточки \(A\) , \(B\) и \(C\) , проведёмплоскость \(\alpha\) ивнейотметимточку \(O\_{1}\) — центрокружности, [проходящей через точки \(A\) , \(B\) , \(C\) |чью сторону данные точки не касаются].

Множествовсехточекпространства, равноудалённыхотточек \(A\) , \(B\) и \(C\) , естьпрямая \(l\) , проходящаячерез[сечение|центр]окружности, описаннойоколотреугольника[ ], иперпендикулярнаяплоскости[ ].

Множествомвсехточекпространства, равноудалённыхотдвухточек, например \(A\) и \(D\) , являетсяплоскость \(b\) , перпендикулярнаяотрезку[ ]ипроходящаячерезего[сечение|угол|середину].

Докажем, чтопрямая \(l\) пересекаетсясплоскостью \(\beta\) .Предположим, чтопрямая \(l\) непересекаетплоскость \(\beta\) .Тогда \(l\perp\beta\) либо \(l\subset\beta\) , итаккак \(l\perp\) [ ] , то \(\beta\perp\) [ ].Отсюдаследует, что \(AD\subset\) [ ](поскольку \(AD\perp\) [ ]и \(A\in\) [ ]), азначит, вседанныеточки \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) лежатв[одной плоскости|разных плоскостях], чтопротиворечитусловию.

Итак, прямая \(l\) пересекаетплоскость \(\beta\) внекоторойточке \(O\) .Точка \(O\) равноудаленаот[плоскости|медианы|точек]A, [ ], \(B\) , \(D\) и, следовательно, являетсяцентромсферы, проходящейчерезточки \(A\) , \(B\) , \(C\) , [ ].

Единственностьсферы, проходящейчерезточки \(A\) , \(B\) , \(C\) и \(D\) , следуетизтого, чтоцентртакойсферылежиткакнапрямой \(l\) , такивплоскости \(\beta\) и, следовательно, совпадаетсточкой \(O\) .

Тот же тест