Ознакомься с примером решения

Построим график функции \(y=\dfrac{x^2+x-5}{x-1}\) .

Решение.

Функция \( f(x)=\dfrac{x^2+x-5}{x-1} \) определена для всех \( x\in \Rn\) , кроме \(x=1\) , она непрерывна на каждом из интервалов \((-\infty ;1)\) и \((1;+\infty )\) .

Выясним, имеет ли график функции наклонную асимптоту \(y=kx+b\) . Так как

\( \lim \limits\_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{f(x)}{x}=\lim \limits\_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{f(x)}{x}=\lim \limits\_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{x^2+x-5}{x^2-x}=1\) ,то \(k=1\) , а так как

\( \lim \limits\_{x\rightarrow -\infty } (f(x)-kx)=\lim \limits\_{x\rightarrow +\infty } (f(x)-kx)=\lim \limits\_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{2x-5}{x-1}=2\) , то \(b=2\) , т. е.

график функции имеет наклонную асимптоту \(y=x+2\) (при \(x\rightarrow -\infty \) и \(x\rightarrow +\infty \) ).

График функции \(y=f(x)\) имеет и вертикальную асимптоту \(x=1\) , так как функция непрерывна на каждом из интервалов \((-\infty ;1)\) и \((1;+\infty )\) и

\(\mathrlap{\scriptsize{\raisebox{-1.5em}{\)x \lt 1\(}}}\) \(\lim\limits\_{x \rightarrow 1} f(x) = +\infty\) ,

а \(\mathrlap{\scriptsize{\raisebox{-1.5em}{\)x \lt 1\(}}}\) \(\lim\limits\_{x \rightarrow 1} f(x) = -\infty\) .

Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\ne 1\) . Найдём её:

\( f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-5)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2+3}{(x-1)^2} \) .

Производная положительна для любого \(x\) из области определения функции, поэтому функция возрастает на каждом из интервалов \((-\infty ;1)\) и \((1;+\infty )\) .

Вычислим координаты нескольких точек графика:

\(x\)	\(y\)
\(-4\)	\(-1,4\)
\(-3\)	\(-0,25\)
\(-2\)	\(1\)
\(-1\)	\(2,5\)
\(0\)	\(5\)
\(2\)	\(1\)
\(3\)	\(3,5\)
\(4\)	\(5\)

Построим график функции \(y=f(x)\) :