Ознакомься с примером решения

В два сосуда налиты различные растворы соли, причём в первый сосуд налито \(5\) кг, а во второй — \(20\) кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в \(p\) раз, а во втором сосуде — в \(q\) раз. Определим наибольшее количество испарившейся воды из обоих сосудов вместе, если известно, что \(pq=9\) .

Решение.

Так как после выпаривания воды масса соли в первом сосуде осталась прежней, а процентное содержание соли увеличилось в \(p\) раз, то масса первого раствора уменьшилась в \(p\) раз. Аналогично масса второго раствора уменьшилась в \(q\) раз. Тогда всего испарилось \( m=5+20-\dfrac{5}{p}-\dfrac{20}{q} \) кг воды. Так как по условию задачи \(pq=9\) , то \(q=\dfrac{9}{p}\) .

C помощью производной нетрудно найти наибольшее значение функции \( m~(p)=25-\dfrac{5}{p}-\dfrac{20p}{9} \) . Но можно обойтись и без производной. Заметим, что функция \( m~(p)=25-\dfrac{10}{3}\cdot \left( \dfrac{3}{2p}+\dfrac{2p}{3}\right) \) достигает наибольшего значения при таком значении \(p\) , при котором функция \( f(p)=\dfrac{3}{2p}+\dfrac{2p}{3} \) достигает наименьшего значения. Так как \( \dfrac{3}{2p}\gt 0 \) , то сумма \( \dfrac{3}{2p}+\dfrac{2p}{3}\geqslant 2 \) , причём \( \dfrac{3}{2p}+\dfrac{2p}{3}=2 \) при условии, что \( \dfrac{3}{2p}=1 \) , т. е. при \(p=1,5\) .

Итак, наибольшее значение функции \(m~(p)\) равно \( 25-\dfrac{10}{3}\cdot 2=18\dfrac{1}{3}\) , поэтому наибольшее количество испарившейся воды из обоих сосудов вместе равно \(18\dfrac{1}{3}\) кг.

Ответ: \(18\dfrac{1}{3}\) кг.