Ознакомься с примером решения

В пирамиде \(SABC\) рёбра \(SA\) и \(BC\) перпендикулярны, \(SA=5\) , \(BC=6\) . Определим наибольшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямым \(SA\) и \(BC\) .

Решение.

Так как через ребро \(AS\) , параллельное плоскости сечения, проходят плоскости \(SAB\) и \(SAC\) , пересекающие плоскость сечения по прямым \(KN\) и \(LM\) , то \(KN\) и \(LM\) параллельны \(AS\) .

Тогда \(KN\parallel LM\) . Аналогично доказывается, что \(KL\parallel MN\) . Следовательно, четырёхугольник \(MNKL\) является параллелограммом, а так как \(SA\) и \(BC\) перпендикулярны по условию задачи, то этот параллелограмм является прямоугольником и его площадь равна \(MN\cdot NK\) .

Обозначим \(x=MN\) , \(y=NK\) . Тогда \(0\lt x\lt 6\) , а из подобия треугольников \(ANM\) и \(ABC\) следует, что \( \frac{BC}{MN}=\frac{AB}{AN} \) , т. е. \( \frac{6}{x}=\frac{AN+NB}{AN}=1+\frac{NB}{AN} \) , откуда \( \frac{NB}{AN}=\frac{6-x}{x} \) .

Аналогично из подобия треугольников \(NBK\) и \(ABS\) следует, что \( \frac{NB}{AN}=\frac{y}{5-y} \) .

Теперь из равенства \( \frac{6-x}{x}=\frac{y}{5-y} \) выразим \(y\) через \(x\) : \( y=\frac{5}{6}(6-x) \) .

Выразим площадь сечения через \(x\) :

\( S=xy=\frac{5}{6}(6x-x^2) \) , где \(0\lt x\lt 6\) .

Площадь сечения будет наибольшей при том значении \(x\in (0;6)\) , при котором функция \(f(x)=6x-x^2\) достигает своего наибольшего значения на интервале \((0;6)\) .

Функция \(f(x)=9-(x-3)^2\) достигает наибольшего значения в точке \(x\_0=3\) , принадлежащей интервалу \((0;6)\) .

Следовательно, наибольшая площадь сечения равна \(\frac{5}{6}(6\cdot 3-3^2)=7,5\) .

Ответ: \(7,5\) .