Ознакомься с примером решения

Число \(90\) представим в виде суммы трёх положительных чисел так, чтобы первое число было в \(2\) раза больше второго, а произведение всех трёх чисел было наибольшим.

Решение.

Обозначим первые два числа через \(2x\) и \(x\) \((x\gt 0)\) . Тогда третье число равно \(90-3x\) , а так как \(90-3x\gt 0\) , то \(x\lt 30\) . Вычислим произведение трёх чисел:

\(2x\cdot x\cdot (90-3x)=180x^2-6x^3=6(30x^2-x^3)\) .

Произведение трёх чисел будет наибольшим при том значении \(x\) , при котором функция \(f(x)=30x^2-x^3\) достигает своего наибольшего значения на интервале \((0;30)\) .

Производная функции \(f (x)\) существует в любой точке промежутка \((0;30)\) . Вычислим её:

\(f'(x)=(30x^2-x^3)'=60x-3x^2\) .

Производная обращается в нуль только в одной точке \(x\_0=20\) этого промежутка. Это единственная критическая точка функции на промежутке \((0;30)\) . Определим знак производной на интервалах \((0;20)\) и \((20;30)\) и промежутки монотонности функции \(f(x)\) .

Так как в точке \(x\_0=20\) производная меняет знак с « \(+\) » на « \(-\) », то \(x\_0=20\) — точка локального максимума функции, а так как она единственная, то в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Следовательно, число \(90\) можно единственным образом представить в виде суммы согласно условиям задачи так: \(90=40+20+30\) .

Ответ: \(90=40+20+30\) .