Ознакомься с примером решения

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=\frac{-16x}{x^2+16}\) .

Решение. Функция \(f(x)\) определена для всех \(x\in \R \) . Производная существует в каждой точке области определения функции. Найдём её:

\(f'(x)=\frac{-16(x^2+16)+16x\cdot 2x}{(x^2+16)^2}=\dfrac{16(x-4)(x+4)}{(x^2+16)^2}\) .

Так как \(f'(x)=0\) лишь при \(x=4\) и при \(x=-4\) , то функция \(f(x)\) имеет две критические точки: \(x=4\) и \(x=-4\) .

При \(x\lt -4\) и при \(x\gt 4\) производная \(f'(x)\) положительна, а при \(-4\lt x\lt 4\) отрицательна, следовательно, на промежутках \((-\infty ;-4]\) и \([4;+\infty )\) функция возрастает, а напромежутке \([-4;4]\) убывает (см. рисунок). Точка \(x=-4\) — точка локального максимума функции, а точка \(x=4\) — точка локального минимума.

Так как \(f(x)=0\) при \(x=0\) , \(f(x)\lt 0\) при \(x\gt 0\) и \(f(x)\gt0\) при \(x\lt 0\) , то в точке локального минимума \(x=4\) функция достигает своего наименьшего значения \(f(4)=-2\) , а в точке локального максимума \(x=-4\) она достигает своего наибольшего значения \(f(-4)=2\) .

Ответ: наибольшее значение функции равно \(2\) , наименьшее значение функции равно \(-2\) .