Ознакомься с примером решения

Дана функция \(f(x)=x^2-6x+7\) . Напишем уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) , проходящей через точку \(A~(2;-5)\) .

Решение. Так как \(f(2)\ne -5\) , то точка \(A\) не принадлежит графику функции \(y=f(x)\) . Пусть \(x\_0\) — абсцисса точки касания.

Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём её:

\(f'(x)=(x^2-6x+7)'=2x-6\) .

Тогда \(f(x\_0)=x^2\_0-6x\_0+7\) ; \(f'(x\_0)=2x\_0-6\) . Уравнение касательной имеет вид:

\(y=(2x\_0-6)(x-x\_0)+x^2\_0-6x\_0+7\) ;

\(y=(2x\_0-6)x-x^2\_0+7\) .

Так как точка \(A\) принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство \(-5=(2x\_0-6)\cdot 2-x^2\_0+7\) , откуда \(x\_0=0\) или \(x\_0=4\) . Это означает, что через точку \(A\) можно провести две касательные к графику функции \(y=f(x)\) .

Если \(x\_0=0\) , то уравнение касательной имеет вид \(y=-6x+7\) . Если \(x\_0=4\) , то уравнение касательной имеет вид \(y=2x-9\) .

Ответ: \(y=-6x+7\) ; \(y=2x-9\) .