Ознакомься с примером решения Исследуем на монотонность и экстремумы функцию f(x)=x^3-3\ln x. Решение. Функция f(x) определена для всех x\gt 0, т. е. D(f)=(0;+\infty ). Производная существует в каждой точке промежутка (0;+\infty ). Найдём её: f'(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}. Так как f'(x)=0 лишь при x=1, то функция f(x) имеет единственную критическую точку: x=1. При x\gt 1 производная f'(x) положительна, а при 0\lt x\lt 1 отрицательна, следовательно, на промежутке (0;1] функция убывает, а на промежутке [1;+\infty ) возрастает (см. рисунок). Точка x=1 — точка локального минимума функции. Так как она единственная, то в ней функция достигает своего наименьшего значения (минимума): f(1)=1^3-3\ln 1=1. Ответ: на промежутке (0;1] функция убывает; на промежутке [1;+\infty ) возрастает; наименьшего значения, равного 1, функция достигает в точке x=1.

Задание

Ознакомься с примером решения

Исследуем на монотонность и экстремумы функцию \(f(x)=x^3-3\ln x\) .

Решение. Функция \(f(x)\) определена для всех \(x\gt 0\) , т. е. \(D(f)=(0;+\infty )\) . Производная существует в каждой точке промежутка \((0;+\infty )\) . Найдём её:

\(f'(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}\) .

Так как \(f'(x)=0\) лишь при \(x=1\) , то функция \(f(x)\) имеет единственную критическую точку: \(x=1\) .

При \(x\gt 1\) производная \(f'(x)\) положительна, а при \(0\lt x\lt 1\) отрицательна, следовательно, на промежутке \((0;1]\) функция убывает, а на промежутке \([1;+\infty )\) возрастает (см. рисунок). Точка \(x=1\) — точка локального минимума функции. Так как она единственная, то в ней функция достигает своего наименьшего значения (минимума): \(f(1)=1^3-3\ln 1=1\) .

Ответ: на промежутке \((0;1]\) функция убывает; на промежутке \([1;+\infty )\) возрастает; наименьшего значения, равного \(1\) , функция достигает в точке \(x=1\) .

Похожие

Тот же тест