Ознакомься с примером решения

Дана функция \(f(x)=x^3-6x^2+9x+7\) .

Найдем:

а) критические точки функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;2]\) ;

б) наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;2]\) .

Решение.

а) Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём её:

\(f'(x)=(x^3-6x^2+9x+7)'=3x^2-12x+9\) .

Найдём точки, в которых \(f'(x)=0\) . Для этого решим уравнение \(3x^2-12x+9=0\) .

Уравнение имеет два корня: \(1\) и \(3\) . Из этих чисел только число \(1\) является внутренней точкой отрезка \([-2;2]\) . Поэтому \(x=1\) — единственная критическая точка функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;2]\) .

б) Вычислим значения функции \(f(x)\) на концах отрезка и в критической точке:

\(f(-2)=(-2)^3-6\cdot (-2)^2+9\cdot (-2)+7=-43\) ;

\(f(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+7=11\) ;

\(f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+7=9\) .

Наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;2]\) равно \(11\) , это значение достигается в точке \(x=1\) ; наименьшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([-2;2]\) равно \(-43\) , это значение достигается в точке \(x=-2\) :

\(\max \limits\_{[-2;2]} f(x)=f(1)=11\) ; \(\min \limits\_{[-2;2]} f(x)=f(-2)=-43\) .

Ответ:а) \(x=1\) ;б) \(\max \limits\_{[-2;2]} f(x)=11\) , \(\min \limits\_{[-2;2]} f(x)=-43\) .