Ознакомься с примером решения

Найдём точки перегиба и промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции

\(y=x^3-3x^2+9x-4\) .

Решение. Функция \(y=x^3-3x^2+9x-4\) определена для всех \(x\in \R \) . Производная существует в каждой точке области определения функции. Найдём её:

\(f'(x)=(x^3-3x^2+9x-4)'=3x^2-6x+9\) .

Найдём вторую производную:

\(f''(x)=(3x^2-6x+9)'=6x-6\) .

Вторая производная обращается в нуль только в точке \(x=1\) . Определим знак второй производной на каждом из интервалов \((-\infty ;1)\) и \((1;+\infty )\) .

Вторая производная функции \(f(x)\) в точке \(x=1\) меняет знак, следовательно, \(x=1\) — точка перегиба графика этой функции. На интервале \((-\infty ;1)\) вторая производная отрицательна, поэтому график функции \(y=f(x)\) имеет выпуклость вверх. На интервале \((1;+\infty )\) вторая производная положительна, поэтому график функции \(y=f(x)\) имеет выпуклость вниз.

Ответ: график функции имеет выпуклость вверх на интервале \((-\infty ;1)\) ; выпуклость вниз на интервале \((1;+\infty )\) ; \(x=1\) — точка перегиба.