Ознакомься с примером решения

Число \(76\) представим в виде суммы трёх положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно \(2:3\) .

Решение.

Обозначим первые два числа через \(2x\) и \(3x\) , где \(x\) — коэффициент пропорциональности. Так как \(2x\) и \(3x\) положительны, то \(x\gt 0\) . Тогда третье число равно \(76-2x-3x=76-5x\) , а так как разность \(76-5x\) положительна, то \(x\lt 15,2\) . Вычислим сумму квадратов трёх чисел:

\((2x)^2+(3x)^2+(76-5x)^2=38x^2-760x+76^2=38(x^2-20x+152)=38((x-10)^2+52)\) .

Сумма квадратов трёх чисел будет наименьшей при том значении \(x\) , при котором функция \(f(x)=38((x-10)^2+52)\) на интервале \((0;15,2)\) достигает своего наименьшего значения. Для любого \(x\in \R \) эта функция принимает наименьшее значение только при \(x\_0=10\) .

Так как \(10\in (0;15,2)\) , то на промежутке \((0;15,2)\) существует единственная точка \(x\_0=10\) , в которой функция \(f(x)\) достигает своего наименьшего значения.

Следовательно, число \(76\) можно единственным образом представить в виде суммы согласно условиям задачи так: \(76=20+30+26\) .

Ответ: \(76=20+30+26\) .