Ознакомься с примером решения Имеются три сплава. Первый сплав содержит 40\, \% олова и 60\, \% свинца, второй — 20\, \% свинца и 80\, \% цинка, третий — 20\, \% олова, 20\, \% свинца и 60\, \% цинка. Сплавив их, получили сплав, содержащий 10\, \% олова. Определим, какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание свинца может быть в этом сплаве. Решение. Пусть первого, второго и третьего сплавов взяли a кг, b кг и c кг соответственно. Так как сплав, составленный только из первого и третьего сплавов, содержит от 20 до 40\, \% олова, то требуемый сплав невозможно получить только из первого и третьего сплавов. Это означает, что b\ne 0. Процентное содержание свинца — это отношение, которое не изменится, если вместо a кг, b кг и c кг от этих трёх сплавов взять \dfrac{a}{b} кг, 1 кг и \dfrac{c}{b} кг соответственно. Поэтому будем считать, что первого сплава взяли x кг, второго — 1 кг, а третьего — y кг. При этом x\geqslant 0 и y\geqslant 0. Из условия задачи следует, что 0,4x+0,2y=0,1(x+1+y), откуда y=1-3x. Так как y\geqslant 0, то x\leqslant \dfrac{1}{3}. Вычислим процентное содержание свинца в сплаве и выразим эту величину как функцию от x: p=\dfrac{(0,6x+0,2\cdot 1+0,2y)\cdot 100}{x+1+y}=\dfrac{60x+20+20y}{x+1+y}=\dfrac{60x+20+20-60x}{x+1+1-3x}=\dfrac{-20}{x-1}. Функция p~(x)=\dfrac{-20}{x-1} возрастает на отрезке \left[ 0;\dfrac{1}{3}\right], так как её производная p'(x)=\dfrac{20}{(x-1)^2} на интервале \left( 0;\dfrac{1}{3}\right) положительна. Следовательно, наименьшее значение функции p~(x) достигает в точке x=0, а наибольшее — в точке x=\dfrac{1}{3}. Но тогда p~(0)=20, p\left( \dfrac{1}{3}\right) =30. Итак, наибольшее процентное содержание свинца в полученном сплаве может составить 30\, \%, а наименьшее — 20\, \%. Ответ: наибольшее процентное содержание свинца равно 30\, \%; наименьшее процентное содержание свинца равно 20\, \%.

Задание

Ознакомься с примером решения

Имеются три сплава. Первый сплав содержит \(40\, \% \) олова и \(60\, \% \) свинца, второй — \(20\, \% \) свинца и \(80\, \% \) цинка, третий — \(20\, \% \) олова, \(20\, \% \) свинца и \(60\, \% \) цинка. Сплавив их, получили сплав, содержащий \(10\, \% \) олова. Определим, какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание свинца может быть в этом сплаве.

Решение.

Пусть первого, второго и третьего сплавов взяли \(a\) кг, \(b\) кг и \(c\) кг соответственно. Так как сплав, составленный только из первого и третьего сплавов, содержит от \(20\) до \(40\, \% \) олова, то требуемый сплав невозможно получить только из первого и третьего сплавов. Это означает, что \(b\ne 0\) . Процентное содержание свинца — это отношение, которое не изменится, если вместо \(a\) кг, \(b\) кг и \(c\) кг от этих трёх сплавов взять \(\dfrac{a}{b}\) кг, \(1\) кг и \(\dfrac{c}{b}\) кг соответственно. Поэтому будем считать, что первого сплава взяли \(x\) кг, второго — \(1\) кг, а третьего — \(y\) кг. При этом \(x\geqslant 0\) и \(y\geqslant 0\) .

Из условия задачи следует, что \( 0,4x+0,2y=0,1(x+1+y) \) , откуда \(y=1-3x\) . Так как \(y\geqslant 0\) , то \(x\leqslant \dfrac{1}{3}\) .

Вычислим процентное содержание свинца в сплаве и выразим эту величину как функцию от \(x\) :

\( p=\dfrac{(0,6x+0,2\cdot 1+0,2y)\cdot 100}{x+1+y}=\dfrac{60x+20+20y}{x+1+y}=\dfrac{60x+20+20-60x}{x+1+1-3x}=\dfrac{-20}{x-1}\) .

Функция \(p~(x)=\dfrac{-20}{x-1}\) возрастает на отрезке \(\left[ 0;\dfrac{1}{3}\right] \) , так как её производная \(p'(x)=\dfrac{20}{(x-1)^2}\) на интервале \(\left( 0;\dfrac{1}{3}\right) \) положительна. Следовательно, наименьшее значение функции \(p~(x)\) достигает в точке \(x=0\) , а наибольшее — в точке \(x=\dfrac{1}{3}\) . Но тогда \(p~(0)=20\) , \(p\left( \dfrac{1}{3}\right) =30\) .

Итак, наибольшее процентное содержание свинца в полученном сплаве может составить \(30\, \% \) , а наименьшее — \(20\, \% \) .

Ответ: наибольшее процентное содержание свинца равно \(30\, \% \) ; наименьшее процентное содержание свинца равно \(20\, \% \) .

Похожие

Тот же тест