Ознакомься с примером решения

Построим график функции \(y=\dfrac{1}{2}(x^2-4)^2\) .

Решение.

Эту функцию можно задать формулой      \(f(x)=\dfrac{1}{2}(x^4-8x^2+16)\) .    Она определена для всех  \(x\in \R \)  и непрерывна на  \(\R \) .    Эта функция чётная, так как для любого  \(x\in \R \)  справедливо равенство      \(f(-x)=f(x)\) , следовательно, график функции симметричен относительно оси  \(Oy\) .    Функция имеет нули  \(x=-2\)  и  \(x=2\) , принимает неотрицательные значения, её график пересекает ось  \(Oy\)  в точке  \((0;8)\) .

Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём её:

\( f'(x)=\dfrac{1}{2}(x^4-8x^2+16)'=2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)\) .

Производная обращается в нуль только в трёх точках: \(x\_1=-2\) , \(x\_2=0\) , \(x\_3=2\) , т. е. функция имеет три критические точки. Определим знак производной на интервалах \((-\infty ;-2)\) , \((-2;0)\) , \((0;2)\) и \((2;+\infty )\) и промежутки монотонности функции \(f(x)\) .

Функция возрастает на промежутках \([-2;0]\) и \([2;+\infty )\) и убывает на промежутках \((-\infty ;-2]\) и \([0;2]\) . В точках \(x=-2\) и \(x=2\) она имеет локальные минимумы, в точке \(x=0\) — локальный максимум.

Вычислим координаты нескольких точек графика для \(x\geqslant 0\) :

\(f(0)=8\) , \(f(1)=4,5\) , \(f(2)=0\) , \(f(3)=12,5\) .

Построим график функции сначала для \(x\geqslant 0\) , потом симметрично отобразим его относительно оси \(Oy\) . Получим график функции \(y=f(x)\) .