Ознакомься с примером решения

Дана прямоугольная система координат \(xOy\) . Выясним, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка \(M~(0;1)\) , а катеты лежат на прямых \(x=-2\) и \(y=0\) .

Решение.

Изобразим один из возможных прямоугольных треугольников — треугольник \(ABD\) .

Так как координаты точек \(M\) и \(C\) есть \((0;1)\) и \((-2;1)\) соответственно, то \(MO=1\) , \(OD=MC=2\) . Обозначим \(AC=t\) \((t\gt 0)\) , тогда из подобия треугольников \(ACM\) и \(MOB\) следует, что \(\dfrac{AC}{MO}=\dfrac{MC}{BO}\) , откуда получим, что \(BO=\dfrac{MC\cdot MO}{AC}=\dfrac{2}{t}\) .

Площадь \(S\) треугольника \(ADB\) равна:

\( \dfrac{AD\cdot DB}{2}=\dfrac{1}{2}(t+1)\left( \dfrac{2}{t}+2\right) =t+\dfrac{1}{t}+2 \) .

Так как для любого \(t\gt 0\) справедливо неравенство \( t+\dfrac{1}{t}\geqslant 2 \) , причём \( t+\dfrac{1}{t}=2 \) только при \(t=1\) , то для \(t\gt 0\) функция \( t+\dfrac{1}{t}+2 \) достигает своего наименьшего значения \(4\) при \(t=1\) . Поэтому наименьшее значение площади равно \(4\) .

Заметим, что если в данной задаче обозначить \(OB=t\) , то аналогичными рассуждениями можно получить, что \( S=t+\dfrac{4}{t}=2\left( \dfrac{t}{2}+\dfrac{2}{t}\right) \) . Тогда из неравенства \( \dfrac{t}{2}+\dfrac{2}{t}\geqslant 2 \) следует, что \( S\geqslant 4 \)

Ответ: \(4\) .