Ознакомься с примером решения

Найдём \(\int \tg 4xdx\)

Решение.

Подынтегральная функция \(y=\tg 4x=\frac{\sin 4x}{\cos 4x}\) определена для всех действительных \(x\) , кроме \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4}\) , \(k\in \Z \) . Сделаем подстановку: \(\cos 4x=t\) , \(t\in (-1;1)\) , тогда \(dt=(\cos 4x)'dx=-4\sin 4xdx\) , откуда \(\sin 4xdx=-\frac{dt}{4}\) .

Итак, \(\int \tg 4xdx=\int \frac{\sin 4xdx}{\cos 4x}=\int \frac{-dt}{4t}=-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t}=-\frac{dt}{t}=-\frac{1}{4}\ln |t|+C=-\frac{1}{4}\ln |\cos 4x|+C\) , где \(C\) — некоторое число.