Ознакомься с примером решения

Перечислим основные преобразования уравнений с одним неизвестным \(x\) , приводящие к уравнению, равносильному исходному.

1. Перенос члена уравнения (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую.
2. Умножение (деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число.
3. Применение тождеств, т. е. равенств, справедливых для каждого \(x\in \R \) .
4. Возведение уравнения в нечётную степень.
5. Извлечение из обеих частей уравнения корня нечётной степени.
6. Логарифмирование показательного уравнения, т. е. замена уравнения \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \((a\gt 0\) и \(a\ne 1)\) уравнением \(f(x)=g(x)\) .

Отметим, что обычно, применяя преобразования \(1–3\) , не пишут, что полученное уравнение равносильно исходному, а пишут: «Перепишем исходное уравнение в виде...»

Решим уравнение \(^3\sqrt{2x^2-24x-x^3}=2-x\) .

Решение.

Возведя уравнение в \(3\) -ю степень, получим уравнение \(2x^2-24x-x^3=(2-x)^3\) , равносильное первому. Применяя формулу куба разности, перенося все члены уравнения в правую часть и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение в виде \(4x^2+12x+8=0\) .

Уравнение имеет два корня: \(-1\) и \(-2\) , а значит, и равносильное ему исходное имеет те же корни.

Ответ: \(-1\) ; \(-2\) .