Ознакомься с примером решения Найдём: а)\int \sqrt{1-x^2}dx; б)\int \sqrt{4-x^2}dx. Решение. а) Подынтегральная функция y=\sqrt{1-x^2} определена на отрезке [-1;1]. Сделаем подстановку: \sin t=x, t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right], тогда t=\arcsin x, \sqrt{1-x^2}=\cos t, откуда dx=(\sin t)'dt=\cos tdt. Итак, \int \sqrt{1-x^2}dx=\int \cos t\cdot \cos tdt=\int \cos ^2tdt=\int \dfrac{1+\cos 2t}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int (1+\cos 2t)dt =\dfrac{1}{2}\left( t +\dfrac{1}{2}\sin 2t\right) +C=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}\sin t\cos t+C=\dfrac{1}{2}\arcsin x+\dfrac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C, где C — некоторое число. б) Подынтегральная функция y=\sqrt{4-x^2}=2\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2} определена на отрезке [-2;2]. Сделаем подстановку: \sin t=\dfrac{x}{2}, t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2}\right], тогда t=\arcsin \dfrac{x}{2}, \sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2}=\cos t, откуда dx=(2\sin t)'dt=2\cos tdt. Итак, \int \sqrt{4-x^2}dx=\int 2\cos t \cdot 2\cos tdt=2\int 2\cos ^2tdt=2\int (1+\cos 2t)dt=2\left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right) +C=2t+2\sin t\cos t+C=2\arcsin \dfrac{x}{2}+2\cdot \dfrac{x}{2}\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2}+C=2\arcsin \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C.

Задание

Ознакомься с примером решения

Найдём:

а) \(\int \sqrt{1-x^2}dx\) ;

б) \(\int \sqrt{4-x^2}dx\) .

Решение.

а) Подынтегральная функция \(y=\sqrt{1-x^2}\) определена на отрезке \([-1;1]\) . Сделаем подстановку: \(\sin t=x\) , \(t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right] \) , тогда \(t=\arcsin x\) , \(\sqrt{1-x^2}=\cos t\) , откуда \(dx=(\sin t)'dt=\cos tdt\) .

Итак, \(\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \cos t\cdot \cos tdt=\int \cos ^2tdt=\int \dfrac{1+\cos 2t}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int (1+\cos 2t)dt\) \(=\dfrac{1}{2}\left( t +\dfrac{1}{2}\sin 2t\right) +C=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}\sin t\cos t+C=\dfrac{1}{2}\arcsin x+\dfrac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C\) , где \(C\) — некоторое число.

б) Подынтегральная функция \(y=\sqrt{4-x^2}=2\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2}\) определена на отрезке \([-2;2]\) . Сделаем подстановку: \(\sin t=\dfrac{x}{2}\) , \(t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2}\right] \) , тогда \(t=\arcsin \dfrac{x}{2}\) , \(\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2}=\cos t\) , откуда \(dx=(2\sin t)'dt=2\cos tdt\) .

Итак, \(\int \sqrt{4-x^2}dx=\int 2\cos t \cdot 2\cos tdt=2\int 2\cos ^2tdt=2\int (1+\cos 2t)dt=2\left( t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right) +C=2t+2\sin t\cos t+C=2\arcsin \dfrac{x}{2}+2\cdot \dfrac{x}{2}\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{2}\right) ^2}+C=2\arcsin \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C\) .

Похожие

Тот же тест