Ознакомься с примером решения

Докажем, что функция \(F(x)=\dfrac{7x^4}{4}+\dfrac{3}{x^2}+\ln x-7x+9\) есть первообразная для функции \(f(x)=7x^3-\dfrac{6}{x^3}+\dfrac{1}{x}-7\) на интервале \((0;+\infty )\) .

Решение.

Производная функции \(F(x)\) существует длякаждого \(x\in (0;+\infty )\) . Найдём её:

\(F'(x)=\left( \dfrac{7x^4}{4}+\dfrac{3}{x^2}+\ln x-7x+9\right) '=\dfrac{7}{4}\cdot 4x^3+3(x^{-2})'+\dfrac{1}{x}-7+0=7x^3-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x}-7=f(x)\) .

Так как функция \(F(x)\) определена на интервале \((0;+\infty )\) и её производная на этом интервале есть \(f(x)\) , то \(F(x)\) есть первообразная для функции \(f(x)\) на интервале \((0;+\infty) \) , что и требовалось доказать.