Основанонаупр.42стр.31

Заполнипропуски

Докажи, чтоесливправильнуюпризмуможновписатьсферу, тоцентромсферыявляетсясерединаотрезка, соединяющегоцентрыоснованийэтойпризмы.

Доказательство.

Центрсферы, вписаннойвмногогранник, вчастностивправильнуюпризму, являетсяточкой, равноудалённойотплоскостейвсех[ ].Пусть \(A\_{1}A\_{2}A\_{3}...A\_{n}B\_{1}B\_{2}B\_{3}...B\_{n}\) — правильнаяпризма, вкоторуюможновписатьсферу, точка \(O\) — центрвписаннойсферы, \(O\_{1}\) и \(O\_{2}\) — центрыоснованийпризмы.

Таккакточка \(O\) равноудаленаотплоскостейграней \(A\_{1}A\_{2}B\_{2}B\_{1}\) и \(A\_{1}A\_{n}B\_{n}B\_{1}\) , тооналежитвполуплоскости(обозначимеё \(\alpha\) ), делящейпополам[ ]уголсребром[ ] .Полуплоскость \(\alpha\) проходитчерезребро[ ]ипараллельнуюемупрямую[ ] , посколькууглы \(A\_{2}A\_{1}A\_{n}\) и \(B\_{2}B\_{1}B\_{n}\) являются[ ]двугранногоугласребром[ ] , алучи \(A\_{1}O\_{1}\) и \(B\_{1}O\_{2}\) — [ ]этихлинейныхуглов.Точнотакжеточка \(O\) лежитвполуплоскости \(\beta\) , делящейпополамдвугранныйуголсребром \(A\_{2}B\_{2}\) .Полуплоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаютсяпо[ ][ ].Следовательно, точка \(O\) лежитна[ ][ ].

Сдругойстороны, таккакточка \(O\) равноудаленаотплоскостейоснованийпризмы, тооналежитвплоскости, параллельнойплоскостямоснованийипроходящейчерез[ ]отрезка \(O\_{1}O\_{2}\) .Итак, точка \(O\) есть[ ], чтоитребовалосьдоказать.