Реши задачу

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) , диагональ \(B\_1D\) составляет с плоскостью основания угол в \(45^\circ\) , а двугранный угол \(A\_1B\_1BD\) равен \(60^\circ\) . Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна \(12 \space см\) . (Задача 449 учебника.)

Решение:

На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1.\)

1. По условию \(\angle B\_{1}DB = 45^\circ\) , поэтому из
   [ ] \(\triangle B\_{1}BD\) находим: \(BB\_{1}\) \(=\) [ ] \(=\) [ ] \( см;\)
2. \(\angle ABD\) — линейный угол
   [ ]
   угла \(A\_{1}B\_{1}BD\) (так как \(BA \bot\) [ ] и \(BD \perp\) [ ]), поэтому \(\angle ABD = 60^\circ\) , \(AB = \) [ ], \(AD = \) [ ] \(=\) [ ] \( см\) .

Итак, \(V = AB \cdot\) [ ] = [ ] = [ ] \( (см^3)\) .

Ответ:[ ] \( (см^3)\) .