Докажиследующееутверждение
Еслиточка \(M\) — серединаотрезка \(AB\) иточка \(O\) — произвольнаяточкапространства, то \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) .
- середина
- противоположные
- \(-\overrightarrow{BM}\)
- \(\overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{AM}\)
- \(\overrightarrow{OB}\)
- \(\overrightarrow{OM}\)
- \(\overrightarrow{AM}\)
- \(\overrightarrow{BM}\)
- \(\overrightarrow{OB}\)
- \(\overrightarrow{OA}\)
- \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
- \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
- \(\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
- \(\overrightarrow{OM}\)
- сонаправленные
Доказательство.
Таккакточка \(M-\) [ ]отрезка \(AB\) , товекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM}\) [ ], т.е. \(\overrightarrow{AM}=\) [ ], и, значит, \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\) [ ].
Дляточек \(A\) , \(M\) ипроизвольнойточки \(O\) поправилутреугольникаполучаем \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \((1)\) , адляточек \(B\) , \(M\) и \(O\) получаем \(\overrightarrow{OM}=\) [ ] \(+\overrightarrow{BM}\) \((2)\) .
Сложимравенства \((1)\) и \((2)\) : \(\overrightarrow{OM}+\) [ ] \(=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \(+\overrightarrow{OB}+\) [ ].Отсюдаследует: \(2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \(+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\) [ ] \(+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{0}\) .Итак, \(2\overrightarrow{OM}=\) [ ], поэтому \(\overrightarrow{OM}=\) [ ], чтоитребовалосьдоказать.