Докажи следующее утверждение Если точка M — середина отрезка AB и точка O — произвольная точка пространства, то \overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}. серединапротивоположные-\overrightarrow{BM}\overrightarrow{0}\overrightarrow{AM}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OM}\overrightarrow{AM}\overrightarrow{BM}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OM}сонаправленные Доказательство. Так как точка M- отрезка AB, то векторы \overrightarrow{AM} и \overrightarrow{BM} , т. е. \overrightarrow{AM}= , и, значит, \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}= . Для точек A, M и произвольной точки O по правилу треугольника получаем \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+ (1), а для точек B, M и O получаем \overrightarrow{OM}= +\overrightarrow{BM} (2). Сложим равенства (1) и (2): \overrightarrow{OM}+ =\overrightarrow{OA}+ +\overrightarrow{OB}+ . Отсюда следует: 2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+ +\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}= +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{0}. Итак, 2\overrightarrow{OM}= , поэтому \overrightarrow{OM}= , что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Докажиследующееутверждение

Еслиточка \(M\) — серединаотрезка \(AB\) иточка \(O\) — произвольнаяточкапространства, то \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) .

  • середина
  • противоположные
  • \(-\overrightarrow{BM}\)
  • \(\overrightarrow{0}\)
  • \(\overrightarrow{AM}\)
  • \(\overrightarrow{OB}\)
  • \(\overrightarrow{OM}\)
  • \(\overrightarrow{AM}\)
  • \(\overrightarrow{BM}\)
  • \(\overrightarrow{OB}\)
  • \(\overrightarrow{OA}\)
  • \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
  • \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
  • \(\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
  • \(\overrightarrow{OM}\)
  • сонаправленные

Доказательство.

Таккакточка \(M-\) [ ]отрезка \(AB\) , товекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM}\) [ ], т.е. \(\overrightarrow{AM}=\) [ ], и, значит, \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\) [ ].

Дляточек \(A\) , \(M\) ипроизвольнойточки \(O\) поправилутреугольникаполучаем \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \((1)\) , адляточек \(B\) , \(M\) и \(O\) получаем \(\overrightarrow{OM}=\) [ ] \(+\overrightarrow{BM}\) \((2)\) .

Сложимравенства \((1)\) и \((2)\) : \(\overrightarrow{OM}+\) [ ] \(=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \(+\overrightarrow{OB}+\) [ ].Отсюдаследует: \(2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\) [ ] \(+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\) [ ] \(+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{0}\) .Итак, \(2\overrightarrow{OM}=\) [ ], поэтому \(\overrightarrow{OM}=\) [ ], чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест