Заполнипропускиврешении

Дано: \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB}\space(k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1)\) .

Докажи, что:

а)точки \(A\) ,  \(B\) и \(M\) лежатнаоднойпрямой;

б)длялюбойточки \(X\) пространстваверноравенство \(\overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k}\) (задача586учебника).

• \(\overrightarrow{MB}\)
• коллинеарны
• произведение
• совпадают
• точку
• совпадают
• одной прямой
• \(\overrightarrow{XA}\)
• \(\overrightarrow{XB}\)
• \(\overrightarrow{XA}\)
• \(\overrightarrow{XM}\)
• \(k\overrightarrow{XM}\)
• \(k\overrightarrow{XM}\)
• \(\overrightarrow{XB}\)
• \(\overrightarrow{XA}\)
• равенства
• \(\ne\)

Доказательство.

а)Таккак \(\overrightarrow{AM}=k\) [ ], товекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) [ ](поопределению[ ]вектораначисло).Следовательно, прямые \(AM\) и \(MB\) либопараллельны, либо[ ].Посколькуэтипрямыеимеютобщую[ ] \(M\) , тоони[ ], следовательно, точки \(A\) , \(B\) и \(M\) лежатна[ ].

б)Возьмёмпроизвольнуюточку \(X\) пространстваипредставимвекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) ввидеразностивекторовсначаломвточке \(X\) : \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{XM}-\) [ ], \(\overrightarrow{MB}=\) [ ] \(-\overrightarrow{XM}\) .

Подставимвисходноеравенствополученныевыражения: \(\overrightarrow{XM}-\) [ ] \(=k(\overrightarrow{XB}-\) [ ] \()\) , или \(\overrightarrow{XM}-\overrightarrow{XA}=k\overrightarrow{XB}-\) [ ].

Послепереносаслагаемых \(\overrightarrow{XA}\) и \(k\overrightarrow{XM}\) изоднойчастиравенствавдругуюполучим \(\overrightarrow{XM}+\) [ ] \(=\overrightarrow{XA}+k\) [ ], или \((1+k)\overrightarrow{XM}=\) [ ] \(+k\overrightarrow{XB}\) .Поусловиюзадачи \(k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1\) , следовательно, \(1+k\) [ ] \(0\) .Поэтомуобечасти[ ]можноумножитьначисло \(\dfrac{1}{1+k}\) .Получим \(\overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k}\) , чтоитребовалосьдоказать.