Дано: \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB} \space (k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1). Докажи, что: а) точки A, B и M лежат на одной прямой; б) для любой точки X пространства верно равенство \overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k} (задача 586 учебника). \overrightarrow{MB}коллинеарныпроизведениесовпадаютточкусовпадаютодной прямой\overrightarrow{XA}\overrightarrow{XB}\overrightarrow{XA}\overrightarrow{XM}k\overrightarrow{XM}k\overrightarrow{XM}\overrightarrow{XB}\overrightarrow{XA}равенства\ne Доказательство. а) Так как \overrightarrow{AM}=k, то векторы \overrightarrow{AM} и \overrightarrow{MB} (по определению вектора на число). Следовательно, прямые AM и MB либо параллельны, либо . Поскольку эти прямые имеют общую M, то они , следовательно, точки A, B и M лежат на . б) Возьмём произвольную точку X пространства и представим векторы \overrightarrow{AM} и \overrightarrow{MB} в виде разности векторов с началом в точке X: \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{XM}-, \overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{XM}. Подставим в исходное равенство полученные выражения: \overrightarrow{XM}-=k(\overrightarrow{XB}-), или \overrightarrow{XM}-\overrightarrow{XA}=k\overrightarrow{XB}-. После переноса слагаемых \overrightarrow{XA} и k\overrightarrow{XM} из одной части равенства в другую получим \overrightarrow{XM}+=\overrightarrow{XA}+k, или (1+k)\overrightarrow{XM}=+k\overrightarrow{XB}. По условию задачи k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1, следовательно, 1+k0. Поэтому обе части можно умножить на число \dfrac{1}{1+k}. Получим \overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k}, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполнипропускиврешении

Дано: \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB}\space(k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1)\) .

Докажи, что:

а)точки \(A\) ,  \(B\) и \(M\) лежатнаоднойпрямой;

б)длялюбойточки \(X\) пространстваверноравенство \(\overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k}\) (задача586учебника).

  • \(\overrightarrow{MB}\)
  • коллинеарны
  • произведение
  • совпадают
  • точку
  • совпадают
  • одной прямой
  • \(\overrightarrow{XA}\)
  • \(\overrightarrow{XB}\)
  • \(\overrightarrow{XA}\)
  • \(\overrightarrow{XM}\)
  • \(k\overrightarrow{XM}\)
  • \(k\overrightarrow{XM}\)
  • \(\overrightarrow{XB}\)
  • \(\overrightarrow{XA}\)
  • равенства
  • \(\ne\)

Доказательство.

а)Таккак \(\overrightarrow{AM}=k\) [ ], товекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) [ ](поопределению[ ]вектораначисло).Следовательно, прямые \(AM\) и \(MB\) либопараллельны, либо[ ].Посколькуэтипрямыеимеютобщую[ ] \(M\) , тоони[ ], следовательно, точки \(A\) , \(B\) и \(M\) лежатна[ ].

б)Возьмёмпроизвольнуюточку \(X\) пространстваипредставимвекторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MB}\) ввидеразностивекторовсначаломвточке \(X\) : \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{XM}-\) [ ], \(\overrightarrow{MB}=\) [ ] \(-\overrightarrow{XM}\) .

Подставимвисходноеравенствополученныевыражения: \(\overrightarrow{XM}-\) [ ] \(=k(\overrightarrow{XB}-\) [ ] \()\) , или \(\overrightarrow{XM}-\overrightarrow{XA}=k\overrightarrow{XB}-\) [ ].

Послепереносаслагаемых \(\overrightarrow{XA}\) и \(k\overrightarrow{XM}\) изоднойчастиравенствавдругуюполучим \(\overrightarrow{XM}+\) [ ] \(=\overrightarrow{XA}+k\) [ ], или \((1+k)\overrightarrow{XM}=\) [ ] \(+k\overrightarrow{XB}\) .Поусловиюзадачи \(k\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}-1\) , следовательно, \(1+k\) [ ] \(0\) .Поэтомуобечасти[ ]можноумножитьначисло \(\dfrac{1}{1+k}\) .Получим \(\overrightarrow{XM}=\dfrac{\overrightarrow{XM}+k\overrightarrow{XB}}{1+k}\) , чтоитребовалосьдоказать.

Тот же тест