Перетащи ответы в правильные места Докажи, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. точки\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\overrightarrow{XM}\overrightarrow{XK}\overrightarrow{XD}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\overrightarrow{XC}CD\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}XT\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\overrightarrow{XC}\overrightarrow{XD} Доказательство. Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любойX пространства выполняется равенство \overrightarrow{XK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XD} (см. задание 83). Если точка M — середина ребра BC, то \overrightarrow{XM}=\dfrac{1}{2}+. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда \overrightarrow{XQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XK}+\dfrac{1}{2} = \cfrac{1}{2}( + \overrightarrow{XM}) = \cfrac{1}{2} ( ( \cfrac{1}{2} \overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2} ) + ( + \cfrac{1}{2} \overrightarrow{XC} ) ) = \cfrac{1}{4} ( \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + + \overrightarrow{XD} ) . Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, и PT. Тогдa \overrightarrow{XP}=, \overrightarrow{XT}=, \overrightarrow{XO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{XP}+)=\dfrac{1}{2}\left(\left(dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\right)+\dfrac{1}{2}()\right)=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}++). \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XE} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XH}\cfrac{1}{2}\left((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD})+(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC})\right)\cfrac{1}{4}\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\overrightarrow{XO}\overrightarrow{XF}совпадаютEHпересекаютсяпополам Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH. Тогда получим \overrightarrow{XE}=, \overrightarrow{XH}=, \overrightarrow{XF}===(\overrightarrow{XA}++\overrightarrow{XD}). Сравнив полученные выражения для векторов \overrightarrow{XQ}, \overrightarrow{XO} и \overrightarrow{XF}, делаем вывод: \overrightarrow{XQ}==. Так как начала этих равных векторов совпадают, то и их концы. Следовательно, середины отрезков KM, PT и совпадают, т. е. эти отрезки в одной точке и делятся этой точкой , что и требовалось доказать.

Задание

Перетащиответывправильныеместа

Докажи, чтотриотрезка, соединяющиесерединыпротивоположныхрёбертетраэдра, пересекаютсяводнойточкеиделятсяеюпополам.

точки
\(\cfrac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{XB}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\)
\(\overrightarrow{XM}\)
\(\overrightarrow{XK}\)
\(\overrightarrow{XD}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\)
\(\overrightarrow{XC}\)
\(CD\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\)
\(XT\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\)
\(\overrightarrow{XC}\)
\(\overrightarrow{XD}\)

Доказательство.

Пустьточка \(K\) — серединаребра \(AD\) тетраэдра \(ABCD\) , тогдадлялюбой[ ] \(X\) пространствавыполняетсяравенство \(\overrightarrow{XK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\) [ ] \(\overrightarrow{XD}\) (см.задание83).Еслиточка \(M\) — серединаребра \(BC\) , то \(\overrightarrow{XM}=\dfrac{1}{2}\) [ ] \(+\) [ ].Обозначимбуквой \(Q\) серединуотрезка \(KM\) , тогда \(\overrightarrow{XQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XK}+\dfrac{1}{2}\) [ ] \(=\cfrac{1}{2}(\) [ ] \(+\overrightarrow{XM})=\cfrac{1}{2}((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\cfrac{1}{2}\) [ ] \()+(\) [ ] \(+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}))=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\) [ ] \(+\overrightarrow{XD})\) .

Обозначимбуквами \(P\) , \(T\) и \(O\) серединыотрезков \(AB\) , [ ]и \(PT\) .Тогдa \(\overrightarrow{XP}=\) [ ], \(\overrightarrow{XT}=\) [ ], \(\overrightarrow{XO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{XP}+\) [ ] \()=\dfrac{1}{2}\left(\left(dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\) [ ] \(\right)+\dfrac{1}{2}(\) [ ] \()\right)=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}+\) [ ] \(+\) [ ] \()\) .

\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\)
\(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XE} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XH}\)
\(\cfrac{1}{2}\left((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD})+(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC})\right)\)
\(\cfrac{1}{4}\)
\(\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\)
\(\overrightarrow{XO}\)
\(\overrightarrow{XF}\)
совпадают
\(EH\)
пересекаются
пополам

Обозначимбуквами \(E\) , \(H\) и \(F\) серединыотрезков \(BD\) , \(AC\) и \(EH\) .Тогдаполучим \(\overrightarrow{XE}=\) [ ], \(\overrightarrow{XH}=\) [ ], \(\overrightarrow{XF}=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ] \((\overrightarrow{XA}+\) [ ] \(+\overrightarrow{XD})\) .

Сравнивполученныевыражениядлявекторов \(\overrightarrow{XQ}\) , \(\overrightarrow{XO}\) и \(\overrightarrow{XF}\) , делаемвывод: \(\overrightarrow{XQ}=\) [ ] \(=\) [ ].Таккакначалаэтихравныхвекторовсовпадают, то[ ]иихконцы.Следовательно, серединыотрезков \(KM\) , \(PT\) и[ ]совпадают, т.е.этиотрезки[ ]воднойточкеиделятсяэтойточкой[ ] , чтоитребовалосьдоказать.

Похожие

Тот же тест