Перетащи элементы в правильные места Докажи, что если векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} коллинеарны и \overrightarrow{a} \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 0, то существует такое число k, что \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}. \uparrow \uparrow\uparrow \downarrowпараллельных\uparrow \uparrowk\overrightarrow{a}\gt\uparrow \uparrow\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}0\uparrow \downarrow\uparrow \uparrow=\uparrow \uparrowk \overrightarrow{a} Доказательство. Возможны два случая: 1) \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}и 2) \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на прямых, т. е. лежат в одной плоскости. 1) Пусть \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}. Возьмём число k=\dfrac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}. Тогда |ka|=||\cdot|\overrightarrow{a}|=\dfrac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\cdot||=|\overrightarrow{b}|. Так как k0, то k . Следовательно, \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a} . Итак, для первого случая утверждение доказано. 2) Пусть \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}. Возьмём число k=\dfrac{|\overrightarrow{b}|}{\overrightarrow{a}}. Тогда |k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot||=\dfrac{\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}}\cdot ||=||. Так как k\lt, то k\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}, и поэтому k\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}. Итак, |\overrightarrow{b}||k\overrightarrow{a}| и \overrightarrow{b} |k\overrightarrow{a}|, следовательно, \overrightarrow{b} = , что и требовалось доказать.

Задание

Перетащиэлементывправильныеместа

Докажи, чтоесливекторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарныи \(\overrightarrow{a}\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}0\) , тосуществуеттакоечисло \(k\) , что \(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\) .

\(\uparrow \uparrow\)
\(\uparrow \downarrow\)
параллельных
\(\uparrow \uparrow\)
\(k\)
\(\overrightarrow{a}\)
\(\gt\)
\(\uparrow \uparrow\)
\(\overrightarrow{a}\)
\(\uparrow \downarrow\)
\(\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{b}\)
\(0\)
\(\uparrow \downarrow\)
\(\uparrow \uparrow\)
\(=\)
\(\uparrow \uparrow\)
\(k \overrightarrow{a}\)

Доказательство.Возможныдваслучая: 1) \(\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{b}\) и2) \(\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{b}\) .Вобоихслучаяхвекторылежатнаоднойпрямойилина[ ]прямых, т.е.лежатводнойплоскости.

1)Пусть \(\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{b}\) .Возьмёмчисло \(k=\dfrac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\) .Тогда \(|ka|=|\) [ ] \(|\cdot|\overrightarrow{a}|=\dfrac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\cdot|\) [ ] \(|=|\overrightarrow{b}|\) .Таккак \(k\) [ ] \(0\) , то \(k\) [ ][ ].Следовательно, \(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\) .Итак, дляпервогослучаяутверждениедоказано.

2)Пусть \(\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{b}\) .Возьмёмчисло \(k=\dfrac{|\overrightarrow{b}|}{\overrightarrow{a}}\) .Тогда \(|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot|\) [ ] \(|=\dfrac{\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}}\cdot |\) [ ] \(|=|\) [ ] \(|\) .Таккак \(k\lt\) [ ], то \(k\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{a}\) , ипоэтому \(k\overrightarrow{a}\) [ ] \(\overrightarrow{b}\) .

Итак, \(|\overrightarrow{b}|\) [ ] \(|k\overrightarrow{a}|\) и \(\overrightarrow{b}\) [ ] \(|k\overrightarrow{a}|\) , следовательно, \(\overrightarrow{b}=\) [ ], чтоитребовалосьдоказать.

Похожие

Тот же тест