Заполни пропуски в решении и запиши ответ

Дан куб \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) . Докажи, что вектор \(\vec{D\_1B}\) можно единственным образом разложить по векторам \(\vec{BA\_1}\) и \(\vec{BC}\) . Найди коэффициенты разложения.

Решение.

1. Прямые \(BC\) и \(A\_1D\_1\) [ ], поэтому точки \(A\_1\) , \(B\) , \(C\) и [ ] лежат в [ ] плоскости, а значит, векторы \(\vec{BA\_1}\) , [ ] и \(\vec{D\_1B}\) компланарны. Кроме того, векторы \(\vec{BA\_1}\) и \(\vec{BC}\) не [ ].

Следовательно, вектор \(\vec{D\_1B}\) [ ] разложить по векторам \(\vec{BA\_1}\) и [ ], причём коэффициенты разложения определяются [ ] образом.

2. В кубе рёбра \(BC\) и \(A\_1D\_1\) равны и [ ], следовательно, четырёхугольник \(A\_1BCD\_1\) является [ ]. Поэтому \(BD\_1=BA\_1+\) [ ] (правило [ ] ). Отсюда получаем \(D\_1B=-BD\_1=(\) [ ] \()\vec{BA\_1}+(\) [ ] \()\vec{BC}\) , т. е. коэффициенты разложения равны \(-1\) и [ ].

Ответ: [ ] разложения равны [ ] и [ ].