Докажем свойство логарифмов a^{\log_b c}=c^{\log_b a}. Решение. Отметим, что по определению логарифма в доказываемом равенстве a\gt 0, b\gt 0, b\ne 1, c\gt 0. Если a=1, или c=1, или a=c=1, то равенство, очевидно, справедливо. Пусть a\gt 0, a\ne 1, c\gt 0, c\ne =1, тогда справедливы равенства a^{\log_b c}=(c^{\log_c a})^{\log_b c}=c^{\log_c a\cdot \log_b c}=c^{\log_b c^{\log_c a}}=c^{\log

Задание

Выполни задание

Докажем свойство логарифмов

\(a^{\log\_b c}=c^{\log\_b a}\) .

Решение.

Отметим, что по определению логарифма в доказываемом равенстве \(a\gt 0\) , \(b\gt 0\) , \(b\ne 1\) , \(c\gt 0\) .

Если \(a=1\) , или \(c=1\) , или \(a=c=1\) , то равенство, очевидно, справедливо.

Пусть \(a\gt 0\) , \(a\ne 1\) , \(c\gt 0\) , \(c\ne =1\) , тогда справедливы равенства

\(a^{\log\_b c}=(c^{\log\_c a})^{\log\_b c}=c^{\log\_c a\cdot \log\_b c}=c^{\log\_b c^{\log\_c a}}=c^{\log\_b a}\) , что и требовалось доказать.