Рассмотри решение неравенства

Решим неравенство

\(2x^2+x-4+\dfrac{3}{2x^2+x}\leqslant 0\) .

Решение.

Обозначив \(t=2x^2+x\) , перепишем неравенство в виде \(t-4+\dfrac{3}{t}\leqslant 0\) .

Все решения неравенства есть и все \(t\lt 0\) , и все \(t\) , такие, что \(1\leqslant t\le 3\) , следовательно, множество решений неравенства есть объединение решений неравенства

\((1)\) \(2x^2+x\lt 0\) и системы \((2)\) \(\begin{cases} 2x^2+x\geqslant 1, \\ 2x^2+x\leqslant 3 \end{cases}\) .

Неравенство \((1)\) имеет множество решений \(\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)\) , а система \((2)\) имеет множество решений \(\left[-\dfrac{3}{2};-1\right]\cup \left[\dfrac{1}{2};1\right]\) .

Следовательно, неравенство имеет множество решений \(\left[-\dfrac{3}{2};-1\right]\cup \left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup \left[\dfrac{1}{2};1\right]\) .

Ответ. \(\left[-\dfrac{3}{2};-1\right]\cup \left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup \left[\dfrac{1}{2};1\right]\) .