Упрости выражение

Упростим выражение \(\dfrac{1}{4+\sqrt[3]{56}+\sqrt[3]{49}}+\sqrt[3]{7}\) .

Решение.

Преобразуем знаменатель дроби \(4+\sqrt[3]{56}+\sqrt[3]{49}=2^2+2\sqrt[3]{7}+(\sqrt[3]{7})^2\) — это неполный квадрат суммы чисел \(2\) и \(\sqrt[3]{7}\) . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим её числитель и знаменатель на разность чисел \(2\) и \(\sqrt[3]{7}\) :

\(\dfrac{1}{4+\sqrt[3]{56}+\sqrt[3]{49}}+\sqrt[3]{7}=\dfrac{2-\sqrt[3]{7}}{(2-\sqrt[3]{7})(2^2+2\sqrt[3]{7}+(\sqrt[3]{7})^2}+\sqrt[3]{7}=\dfrac{2-\sqrt[3]{7}}{2^3-(\sqrt[3]{7})^3}+\sqrt[3]{7}=2\) .

Ответ: \(2\) .