Реши уравнение

Решим уравнение

\(25\cdot 3^x-9\cdot 5^x=0\) .

Решение.

Так как \(5^x\ne 0\) для любых действительных \(x\) , то, вынося множитель \(5^x\) за скобки, перепишем уравнение в виде

\(5^x\left( 25\cdot \left( \dfrac{3}{5}\right) ^x-9\right) =0\) .

Так как \(5^x\ne 0\) для любых действительных \(x\) , то все корни данного уравнения, а значит, и исходного, совпадают с корнями уравнения

\(25\cdot \left( \dfrac{3}{5}\right) ^x-9=0\) ,

которое можно переписать в виде

\(\left( \dfrac{3}{5}\right )^x=\left( \dfrac{3}{5}\right) ^2\) .

Уравнение имеет единственный корень \(2\) , следовательно, исходное уравнение также имеет единственный корень \(2\) .

Ответ: \(2\) .

Замечания:

1. Если обозначить \(3^x=u\) , \(5^x=v\) , то исходное уравнение можно записать в виде \(25u-9v=0\) . Такое уравнение является однородным уравнением первой степени относительно пары \((u;v)\) .
2. При решении уравнений исходного типа часто не делают проведённых выше выкладок, а просто пишут: «Так как \(5^x\ne 0\) для любого действительного числа \(x\) , то, разделив исходное уравнение на \(5^x\) , получим третье уравнение, имеющее те же корни, что и исходное». И далее решают третье уравнение, как показано выше.