Сравни числа

Сравним числа:

а) \(\log\_3 5\) и \(\log\_4 3\) ;

б) \(\log\_{0,5} 5\) и \(\log\_{0,3} 6\) ;

в) \(\log\_3 5\) и \(\log\_4 5\) ;

г) \(\log\_3 5\) и \(\log\_4 6\) .

Решение.

а) Так как \(\log\_3 5\gt 1\) , а \(\log\_4 3\lt 1\) , то \(\log\_3 5\gt \log\_4 3\) .

б) Так как функция \(y=\log\_{0,3} t\) убывает на множестве \((0;+\infty )\) , то из справедливости неравенства \(5\lt 6\) следует справедливость неравенства \(\log\_{0,3} 5\gt \log\_{0,3} 6\) .

в) Преобразуем каждый из логарифмов: \(\log\_3 5=\dfrac{1}{\log\_5 3}\) и \(\log\_4 5=\dfrac{1}{\log\_5 4}\) . Так как \(\log\_5 3\lt \log\_5 4\) и обе дроби положительные, то \(\dfrac{1}{\log\_5 3}\gt \dfrac{1}{\log\_5 4}\) . Следовательно, справедливо неравенство \(\log\_3 5\gt \log\_4 5\) .

г) Рассмотрим \(3\log\_3 5=\log\_3 125\) и \(3\log\_4 6=\log\_4 216\) . Так как \(3^4\lt 125\lt 3^5\) и \(4^3\lt 216\lt 4^4\) , то справедливы двойные неравенства \(4\lt \log\_3 125\lt 5\) , \(3\lt \log\_4 216\lt 4\) .

Из этих неравенств следует, что \(\log\_3 125\gt \log\_4 216\) . Но \(\log\_3 125=3\log\_3 5\) , а \(\log\_4 216=3\log\_3 6\) , поэтому из справедливости неравенства \(\log\_3 125\gt \log\_4 216\) следует справедливость неравенства \(\log\_3 5\gt \log\_4 6\) .

Ответ:

а) \(\log\_3 5\gt \log\_4 3\) ;

б) \(\log\_{0,5} 5\gt \log\_{0,3} 6\) ;

в) \(\log\_3 5\gt \log\_4 5\) ;

г) \(\log\_3 5\gt \log\_4 6\) .