Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажи, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере. Доказательство. Пусть ABCD и ABEF — данные прямоугольники с общей стороной . Множеством всех точек пространства, равноудалённых от вершин прямоугольника ABCD, является прямая l_{1}, перпендикулярная к плоскости прямоугольника и проходящая через точку O_{1} пересечения прямоугольника . Аналогично множество всех точек пространства, равноудалённых от вершин прямоугольника ABEF, есть прямая l_{2}, перпендикулярная к плоскости прямоугольника и проходящая через точку O_{2} пересечения диагоналей прямоугольника . Докажем, что прямые l_{1} и l_{2} пересекаются. Для этого рассмотрим плоскость O_{1}PO_{2}, где точка P — середина . В плоскости O_{1}PO_{2} через точки O_{1} и O_{2} проведём прямые, перпендикулярные соответственно PO_{1} и . Они пересекаются в некоторой точке O. AB \perp O_{1}PO_{2}, так как AB \perp и AB \perp . Следовательно, прямая AB прямым O_{1}O и , лежащим в плоскости O_{1}PO_{2}. Так как O_{1}O \perp PO_{1} и O_{1}O \perp , то O_{1}O \perp ABC (по признаку ). Аналогично доказывается, что O_{2}O \perp . Отсюда следует, что прямые l_{1} и O_{1}O и также совпадают прямые и , а это означает, что прямые l_{1} и l_{2} в точке . Итак, OD = = = = = OE, т. е. точка O — центр сферы, проходящей через точки A, , , , и .
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполнипропускивдоказательстве

Двапрямоугольникалежатвразличныхплоскостяхиимеютобщуюсторону.Докажи, чтовсевершиныданныхпрямоугольниковлежатнаоднойсфере.

Доказательство.

Пусть \(ABCD\) и \(ABEF\) — данныепрямоугольникисобщейстороной[ ].

Множествомвсехточекпространства, равноудалённыхотвершинпрямоугольника \(ABCD\) , являетсяпрямая \(l\_{1}\) , перпендикулярнаякплоскостипрямоугольника[ ]ипроходящаячерезточку \(O\_{1}\) пересечения[диагоналей|медиан|образующих]прямоугольника[ ].Аналогичномножествовсехточекпространства, равноудалённыхотвершинпрямоугольника \(ABEF\) , естьпрямая \(l\_{2}\) , перпендикулярнаякплоскостипрямоугольника[ ]ипроходящаячерезточку \(O\_{2}\) пересечениядиагоналейпрямоугольника[ ].

Докажем, чтопрямые \(l\_{1}\) и \(l\_{2}\) пересекаются.Дляэтогорассмотримплоскость \(O\_{1}PO\_{2}\) , гдеточка \(P\) — середина[ ].Вплоскости \(O\_{1}PO\_{2}\) черезточки \(O\_{1}\) и \(O\_{2}\) проведёмпрямые, перпендикулярныесоответственно \(PO\_{1}\) и[ ].Онипересекаютсявнекоторойточке \(O\) . \(AB\perpO\_{1}PO\_{2}\) , таккак \(AB\perp\) [ ]и \(AB\perp\) [ ].Следовательно, прямая \(AB\) [перпендикулярна|параллельна]прямым \(O\_{1}O\) и[ ], лежащимвплоскости \(O\_{1}PO\_{2}\) .Таккак \(O\_{1}O\perpPO\_{1}\) и \(O\_{1}O\perp\) [ ], то \(O\_{1}O\perpABC\) (попризнаку[параллельной прямой и плоскости|перпендикулярной прямой и плоскости]).

Аналогичнодоказывается, что \(O\_{2}O\perp\) [ ].Отсюдаследует, чтопрямые \(l\_{1}\) и \(O\_{1}O\) [совпадают|не совпадают]итакжесовпадаютпрямые[ ]и[ ], аэтоозначает, чтопрямые \(l\_{1}\) и \(l\_{2}\) [не пересекаются|начинаются|пересекаются]вточке[ ].

Итак, \(OD=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ] \(=OE\) , т.е.точка \(O\) — центрсферы, проходящейчерезточки \(A\) , [ ], [ ], [ ], [ ]и[ ].

Тот же тест