Решизадачу

Двекасательныеплоскостиксферепересекаютсяпопрямой \(l\) .Докажи, чтопрямая, соединяющаяточкикасания, перпендикулярна \(l\) .

Доказательство.

Пусть \(A\) и \(B\) — точкикасаниясферысцентром \(O\) иплоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) , \(l\) — линияпересеченияэтихплоскостей.Тогда \(OA\perp\alpha\) , \(OB\perp\beta\) (таккакрадиус, проведённыйв[точку|отрезок|прямую]касаниясферыи[плоскости|прямой|касательной], [параллелен|перпендикулярен]кэтойплоскости).

Черезпересекающиесяпрямые \(OA\) и \(OB\) проведёмплоскость \(\gamma\) .Таккак \(OA\perp\alpha\) , топрямая \(OA\) перпендикулярнаклюбой[поверхности|прямой|образующей], лежащей[на сфере|на треугольнике|в плоскости], и, следовательно, \(OA\perp l\) . Аналогично \(OB\perp\) [ ].

Такимобразом, прямая \(l\) перпендикулярнакдвумпересекающимсяпрямым(укажиэтипрямыевалфавитномпорядке: [ ]и[ ]), лежащим[перпеникулярно плоскости|в плоскости ] \(\gamma\) .Поэтому \(l\perp\) [ ], атаккакпрямая \(AB\) лежит[в плоскости \(\gamma\) |на плоскости сечения|на грани], то \(l\perp\) [ ].