Основано на упр. 43 стр. 32 Докажи, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды. Доказательство: На рисунке изображена правильная n-угольная пирамида MA_{1}A_{2}...A_{n}, MH — её высота. Обозначим через \alpha_1 полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре A_{1}A_{2}; через \alpha_{2} — полуплоскость, делящую пополам при ребре A_{2}A_{3}; ...; через \alpha_{n} —, при ребре . В силу правильности пирамиды каждая из этих полуплоскостей пересекается с высотой MH в (обозначим ее O). Следовательно, точка O равноудалена от всех и потому является . Точка O — единственная общая точка полуплоскостей \alpha_{1}, . В самом деле, \alpha_{1} \alpha_{2} пересекаются по лучу , а луч A_{2}O имеет с полуплоскостью \alpha_{3} только одну точку — точку O. Итак, в правильную пирамиду можно вписать , причём центр вписанной сферы лежит .
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.43стр.32

Заполнипропуски

Докажи, чтоцентрсферы, вписаннойвправильнуюпирамиду, лежитнавысотеэтойпирамиды.

Доказательство:

Нарисункеизображенаправильная \(n\) -угольнаяпирамида \(MA\_{1}A\_{2}...A\_{n}, MH\) — еёвысота.Обозначимчерез \(\alpha\_1\) полуплоскость, делящуюпополамдвугранныйуголпирамидыприребре \(A\_{1}A\_{2}\) ; через \(\alpha\_{2}\) — полуплоскость, делящуюпополам[внешний угол|двугранный угол|прямой угол]приребре \(A\_{2}A\_{3}\) ; ...; через \(\alpha\_{n}\) — [грань|плоскость сечения|полуплоскость], [делящая пополам|не относящаяся][двугранный угол|к двугранному углу]приребре[ ].Всилуправильностипирамидыкаждаяизэтихполуплоскостейпересекаетсясвысотой \(MH\) в[ ](обозначимее \(O\) ).Следовательно, точка \(O\) равноудаленаотвсех[граней|плоскостей]ипотомуявляется[ ].

Точка \(O\) — единственнаяобщаяточкаполуплоскостей \(\alpha\_{1}\) , [ ].Всамомделе, \(\alpha\_{1}\) \(\alpha\_{2}\) пересекаютсяполучу[ ], алуч \(A\_{2}O\) имеетсполуплоскостью \(\alpha\_{3}\) толькоодну[ ]точку — точку \(O\) .Итак, вправильнуюпирамидуможновписать[ ], причёмцентрвписаннойсферылежит[ ].

Тот же тест