Дополнирешение

Всестороныравнобедреннойтрапеции \(ABCD\: (AD\parallelBC)\) касаютсясферы, радиускоторойравен \(a\sqrt{3}\) . Найдирасстояниеотцентрасферыдоплоскоститрапеции, если \(AB=CD=a\sqrt{5}\) , \(AD=a(1+\sqrt{5})\) .

Решение.

Пустьсторонытрапеции \(ABCD\) касаютсясферысцентром \(O\) ирадиусом \(R\) , отрезок \(OO\_{1}\) — перпендикуляр, проведённыйизточки \(O\) кплоскоститрапеции.Тогдаточкикасаниясторонтрапецииисферылежатнаокружности, [ ]вэтутрапецию, и \(O\_{1}\) — вершина \(QO\_{1}F\) |центр этой окружности.Рассмотримтрапецию \(ABCD\) (см.рис.б).Пусть \(r\) — радиусвписаннойвнеёокружности, \(BE\) — высотатрапеции.Таккаквтрапециюможновписатьокружность, то \(2AB=\) [ ], откуда \(BC=\) [ ] \(=\) [ ].

Далее, \(AE=\frac{1}{2}(\) [ ] \()=\) [ ] \(=\) [ ].

Из[тупоугольного|остроугольного|прямоугольного]треугольника \(BEA\) находим: \(BE=\) [ ] \(=\) [ ].Но \(BE=2r\) , поэтому \(O\_{1}F=r=\) [ ].Таккак \(F\) — точкакасаниясферыитрапеции, \(OO\_{1}\perp\) [ ], то \(OF=\) [ ]ииз[прямоугольного|равнобедренного|равностороннего]треугольника \(OO\_{1}F\) (см.рис.а)находим: \(OO\_{1}=\) [ ] \(=\) [ ].

Ответ: [ ].