(Стр. 20) № 27 Расстояние от центра сферы до плоскости. Точки M, N и P лежат на сфере радиуса \dfrac{3}{\sqrt{2}}, MN = MP = 3, \angle NMP = \alpha. На каком расстоянии от центра сферы находится плоскость MNP? Решение. Пусть точки M, N и P лежат на сфере с центром O, OO_{1} — перпендикуляр, проведённый из точки O к плоскости MNP (см. рис. а). Сечение сферы плоскостью MNP является с центром , а точки M, N и P лежат на . Следовательно, O_{1} — центр около . Найдём радиус r этой окружности. С одной стороны, так как MN = MP, то треугольник MNP (см. рис. б), поэтому NP= MN = . С другой стороны, {\dfrac {NP}{\sin \alpha}} = 2 (теорема синусов), поэтому r = O_{1}M = = . Так как OO_{1} \perp MNP, то треугольник MO_{1}O прямоугольный и O_{1}O = = \dfrac 3{2 \cos \dfrac{\alpha}{2}} \cdot = \cdot \sqrt{cos \alpha}. Ответ: .

Задание

(Стр.20)№27Расстояниеотцентрасферыдоплоскости.

Решизадачу

Точки \(M\) , \(N\) и \(P\) лежатнасферерадиуса \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\) , \(MN=MP=3\) , \(\angleNMP=\alpha\) . Накакомрасстоянииотцентрасферынаходитсяплоскость \(MNP\) ?

Решение.

Пустьточки \(M\) , \(N\) и \(P\) лежатнасфересцентром \(O\) , \(OO\_{1}\) — перпендикуляр, проведённыйизточки \(O\) кплоскости \(MNP\) (см.рис.а).Сечениесферыплоскостью \(MNP\) является[окружностью|трапецией|отрезком|треугольником]сцентром[ ], аточки \(M\) , \(N\) и \(P\) лежатна[этой окружности|гранях|высотах треугольника].Следовательно, \(O\_{1}\) — центр[окружности, описанной| окружности, вписанной]около[шестиугольника|квадрата|параллелограмма|треугольника][ ].

Найдёмрадиус \(r\) этойокружности.Соднойстороны, таккак \(MN=MP\) , тотреугольник \(MNP\) прямоугольный|равнобедренный|равносторонний, поэтому \(NP=\) [ ] \(MN\) [ ] \(=\) [ ].

Сдругойстороны, \({\dfrac{NP}{\sin\alpha}}=2\) , поэтому \(r=O\_{1}M=\) [ ] \(=\) [ ].

Таккак \(OO\_{1}\perpMNP\) , тотреугольник \(MO\_{1}O\) прямоугольныйи \(O\_{1}O=\) [ ] \(=\dfrac3{2\cos\dfrac{\alpha}{2}}\cdot\) [ ] \(=\) [ ] \(\cdot\sqrt{cos\alpha}\) .

Ответ: [ ].

Похожие

Тот же тест