Точки A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;4;0) и A_1(0;0;5\sqrt{3}) — вершины прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1. Найди: а) \vec{AA_1} \cdot \vec{A_1D}; б) \vec{CA} \cdot \vec{CA_1}; в) косинус угла \varphi между прямыми A_1D и AC; г) синус угла \alpha между прямой CA_1 и плоскостью ABC; д) длину диагонали A_1C. Решение. а) Найдём координаты _____ \vec{AA_1} и \vec{A_1D}:\vec{AA_1}{\dots;\dots;\dots}, \vec{A_1D}{\dots;\dots;\dots}. Следовательно, AA_1\cdot A_1D= 0\cdot _____ + _____ + _____ \cdot (-5\sqrt{3})= _____. б) \vec{CA} =-\vec{AC} =-(\vec{AB} + _____ ), \vec{CA_1} =-\vec{A_1C} =-(\vec{A_1B_1} + _____ +\vec{A_1A} )=-(\vec{AB} + _____ - _____ ), где \vec{AB} {\dots}, \vec{AD} {\dots}, \vec{AA_1} {\dots}. Значит, \vec{CA} {-3; \dots; 0}, \vec{CA_1} {\dots; -4; \dots }. Отсюда получаем \vec{CA} \cdot \vec{CA_1} =3\cdot _____ + _____ + _____ = _____. в) Направляющими векторами прямых \vec{A_1D} и \vec{AC} служат векторы \vec{A_1D} { \dots ; \dots ; \dots } и \vec{AC} {\dots ; \dots ; \dots }. Поэтому \cos \varphi =\dfrac{|0\cdot \dots +\dots \cdot 4+ \dots |}{\sqrt{\dots +4^2+(\dots )^2\cdot \sqrt{\dots +\dots +\dots }}}=\dfrac{16}{\sqrt{91}\cdot \dots}=\dfrac{16}{455}\sqrt{\dots } г) Синус угла \alpha между прямой CA_1 и _____ ABC равен модулю _____ угла \beta между направляющим _____ \vec{CA_1} прямой CA_1 и вектором \vec{AA_1}, перпендикулярным плоскости _____. Так как \vec{CA_1} {\dots}, \vec{AA_1} {\dots}, то \sin \alpha =| \dots |= =\dfrac{|\dots |}{\sqrt{\dots }\cdot \sqrt{\dots }}=\dfrac{|\dots |}{\dots \cdot 5\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dots }. д) Длина отрезка A_1C равна _____ вектора \vec{CA_1}, т. е. A_1C=|\vec{CA_1} |=\sqrt{(\dots )^2}=\sqrt{(-3)^2+\dots }= ____

Задание

Выполни задание

Точки \(A(0;0;0)\) , \(B(3;0;0)\) , \(D(0;4;0)\) и \(A\_1(0;0;5\sqrt{3})\) — вершины прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) .

Найди:

а) \(\vec{AA\_1} \cdot \vec{A\_1D} \) ;

б) \(\vec{CA} \cdot \vec{CA\_1} \) ;

в) косинус угла \(\varphi \) между прямыми \(A\_1D\) и \(AC\) ;

г) синус угла \(\alpha \) между прямой \(CA\_1\) и плоскостью \(ABC\) ;

д) длину диагонали \(A\_1C\) .

Решение.

а) Найдём координаты _____ \(\vec{AA\_1} \) и \(\vec{A\_1D}:\vec{AA\_1} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }, \(\vec{A\_1D} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }.

Следовательно, \(AA\_1\cdot A\_1D= 0\cdot \) _____ \(+\) _____ \(+\) _____ \(\cdot (-5\sqrt{3})=\) _____.

б) \(\vec{CA} =-\vec{AC} =-(\vec{AB} +\) _____ \()\) , \(\vec{CA\_1} =-\vec{A\_1C} =-(\vec{A\_1B\_1} +\) _____ \(+\vec{A\_1A} )=-(\vec{AB} +\) _____ \(-\) _____ \()\) , где \(\vec{AB} \) { \(\dots \) }, \(\vec{AD} \) { \(\dots \) }, \(\vec{AA\_1} \) { \(\dots \) }. Значит, \(\vec{CA} \) { \(-3\) ; \(\dots \) ; \(0\) }, \(\vec{CA\_1} \) { \(\dots \) ; \(-4\) ; \(\dots \) }.

Отсюда получаем \(\vec{CA} \cdot \vec{CA\_1} =3\cdot \) _____ \(+\) _____ \(+\) _____ \(=\) _____.

в) Направляющими векторами прямых \(\vec{A\_1D} \) и \(\vec{AC} \) служат векторы \(\vec{A\_1D} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(\dots \) } и \(\vec{AC} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }. Поэтому

\(\cos \varphi =\dfrac{|0\cdot \dots +\dots \cdot 4+ \dots |}{\sqrt{\dots +4^2+(\dots )^2\cdot \sqrt{\dots +\dots +\dots }}}=\dfrac{16}{\sqrt{91}\cdot \dots}=\dfrac{16}{455}\sqrt{\dots }\)

г) Синус угла \(\alpha \) между прямой \(CA\_1\) и _____ \(ABC \) равен модулю _____ угла \(\beta \) между направляющим _____ \(\vec{CA\_1} \) прямой \(CA\_1\) и вектором \(\vec{AA\_1} \) , перпендикулярным плоскости _____. Так как \(\vec{CA\_1} \) { \(\dots \) }, \(\vec{AA\_1} \) { \(\dots \) }, то \(\sin \alpha =|\) \(\dots \) \(|=\)

\(=\dfrac{|\dots |}{\sqrt{\dots }\cdot \sqrt{\dots }}=\dfrac{|\dots |}{\dots \cdot 5\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dots }\) .

д) Длина отрезка \(A\_1C\) равна _____ вектора \(\vec{CA\_1} \) , т. е. \(A\_1C=|\vec{CA\_1} |=\sqrt{(\dots )^2}=\sqrt{(-3)^2+\dots }= \) _____.

Похожие

Тот же тест