Задание

Ознакомься с примером решения

В пирамиде SABC рёбра SA и BC перпендикулярны, SA=5, BC=6. Определим наибольшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямым SA и BC.

Решение.

Так как через ребро AS, параллельное плоскости сечения, проходят плоскости SAB и SAC, пересекающие плоскость сечения по прямым KN и LM, то KN и LM параллельны AS.

Тогда KN\parallel LM. Аналогично доказывается, что KL\parallel MN. Следовательно, четырёхугольник MNKL является параллелограммом, а так как SA и BC перпендикулярны по условию задачи, то этот параллелограмм является прямоугольником и его площадь равна MN\cdot NK.

Обозначим x=MN, y=NK. Тогда 0\lt x\lt 6, а из подобия треугольников ANM и ABC следует, что \frac{BC}{MN}=\frac{AB}{AN} , т. е. \frac{6}{x}=\frac{AN+NB}{AN}=1+\frac{NB}{AN} , откуда \frac{NB}{AN}=\frac{6-x}{x} .

Аналогично из подобия треугольников NBK и ABS следует, что \frac{NB}{AN}=\frac{y}{5-y}.

Теперь из равенства \frac{6-x}{x}=\frac{y}{5-y} выразим y через x: y=\frac{5}{6}(6-x).

Выразим площадь сечения через x:

S=xy=\frac{5}{6}(6x-x^2) , где 0\lt x\lt 6.

Площадь сечения будет наибольшей при том значении x\in (0;6), при котором функция f(x)=6x-x^2 достигает своего наибольшего значения на интервале (0;6).

Функция f(x)=9-(x-3)^2 достигает наибольшего значения в точке x_0=3, принадлежащей интервалу (0;6).

Следовательно, наибольшая площадь сечения равна \frac{5}{6}(6\cdot 3-3^2)=7,5.

Ответ: 7,5.