Ознакомься с примером решения

Произведение трёх последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равно \(343\) . Найдём наибольшую сумму этих трёх членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.

Решение.

Обозначим три последовательных члена геометрической прогрессии через \(\dfrac{a}{q}\) , \(a\) , \(aq\) , где \(q\) — знаменатель этой прогрессии. По условию задачи \(\dfrac{a}{q}\cdot a\cdot aq=343\) , откуда \(a=7\) . Тогда сумма трёх членов прогрессии равна \(\dfrac{7}{q}+7+7q=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7\) .

Так как для любого отрицательного числа \(q\) справедливо неравенство \(q+\dfrac{1}{q}\leqslant -2\) , причём \(q+\dfrac{1}{q}=-2\) лишь при \(q=-1\) , то функция \(f(q)=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7\) , \(q\lt 0\) , достигает наибольшего значения в единственной точке \(q=-1\) .

Cледовательно, наибольшая искомая сумма равна \(f(-1)=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7=-7\) .

Ответ: \(-7\) .