Ознакомься с примером решения

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^5-10x^3+50x-10\) на отрезке \([-1;1]\) .

Решение. Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём ее:

\(f'(x)=(x^5-10x^3+50x-10)'=5x^4-30x^2+50\) .

Производная функции \(f(x)\) не обращается в нуль ни для какого \(x\) , так как \(5x^4-30x^2+50=5(x^4-6x^2+9)+5=5(x^2-3)^2+5\gt 0\) для любого действительного числа \(x\) . Следовательно, функция \(f(x)\) не имеет критических точек. Наибольшего и наименьшего значений на отрезке \([-1;1]\) она достигает на концах этого отрезка.

Вычислим значения функции \(f(x)\) на концах отрезка:

\(f(-1)=(-1)^5-10\cdot (-1)^3+50\cdot (-1)-10=-51\) ;

\(f(1)=1^5-10\cdot 1^3+50\cdot 1-10=31\) .

Итак, \(\max \limits\_{[-1;1]} f(x)=31\) , \(\min \limits\_{[-1;1]} f(x)=-51\) .

Ответ: \(\max \limits\_{[-1;1]} f(x)=31\) , \(\min \limits\_{[-1;1]} f(x)=-51\) .