Ознакомься с примером

Покажи, что функция \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\) на всей числовой прямой, если:

1. \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\) , \(f(x)=x^2\) ;

2. \(F(x)=\dfrac{x^7}{7}\) , \(f(x)=x^6\) ;

3. \(F(x) = 2x^5 - 1\) , \(f (x) = 10x^4\) ;

4. \(F(x) = -3 \cos x\) , \(f (x) = 3 \sin x\) .

Решение.

1. Применяя правила дифференцирования и учитывая, что \((x^n)^{\prime} = nx^{n - 1}\) , \(n ∈ \N\) , получаем

\(\left(\dfrac{x^3}{3}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{3}(x^3)^{\prime}=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2=x^2\) .

2. \(\left(\dfrac{x^7}{7} + 4\right)^{\prime} = \dfrac{1}{7}\cdot 7x^6 = x^6\) .

3. \((2x^5 - 1)^{\prime} = 2 \cdot 5x^4 = 10x^4\) .

4. \((-3 \cos x)^{\prime} = -3 (\cos x)^{\prime} = (-3) (-\sin x) = 3 \sin x\) .