Ознакомься с примером решения

Найдём наибольший объём правильной четырёхугольной призмы, диагональ которой равна \(4\sqrt{3}\) .

Решение.

Пусть высота \(CC\_1\) правильной четырёхугольной призмы \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) равна \(x\) .

По смыслу задачи \(0\lt x\lt 4 \sqrt{3}\) . Тогда диагональ квадрата \(ABCD\) равна \( AC=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-x^2}=\sqrt{48-x^2} \) . А площадь этого квадрата равна \( 0,5AC^2=0,5(48-x^2) \) и объём призмы равен \( V=0,5x(48-x^2)=0,5(48x-x^3) \) .

Рассмотрим функцию \( V(x)=0,5(48x-x^3) \) , \( 0\lt x\lt 4\sqrt{3} \) . Её производная существует для любого \(x\in (0;4\sqrt{3})\) и равна \( V'(x)=0,5(48-3x^2)=1,5(16-x^2) \) .

Производная обращается в нуль только в одной точке \(x\_0=4\) промежутка \((0;4\sqrt{3})\) . Это единственная критическая точка функции на этом промежутке. Определим знак производной на интервалах \((0;4)\) и \((4;4\sqrt{3})\) и промежутки монотонности функции \(f(x)\) .

Так как в точке \(x\_0=4\) производная меняет знак с « \(+\) » на « \(-\) », то \(x\_0=4\) — точка локального максимума функции, а так как она единственная, то в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Следовательно, объём призмы будет наибольшим, если его высота равна \(4\) . Тогда наибольший объём призмы равен \( V(4)=0,5(48\cdot 4-4^3)=64 \) .

Ответ: \(64\) .