Ознакомься с примером решения

Дана функция \(f(x)=x^3-3x^2+2x+5\) . Напишем уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) , параллельной прямой \(y=2x-11\) .

Решение. Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём её:

\(f'(x)=(x^3-3x^2+2x+5)=3x^2-6x+2\) .

Так как касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x\_0\) параллельна прямой \(y=2x-11\) , то её угловой коэффициент равен \(2\) , т. е. \(f'(x\_0)=2\) . Найдём эту абсциссу из условия, что \(3x\_0^2-6x\_0+2=2\) . Это равенство справедливо лишь при \(x\_0=0\) и при \(x\_0=2\) . Так как в том и в другом случае \(f(x\_0)=5\) , то прямая \(y=2x+b\) касается графика функции или в точке \((0;5)\) , или в точке \((2;5)\) .

В первом случае верно числовое равенство \(5=2\cdot 0+b\) , откуда \(b=5\) , а во втором случае верно числовое равенство \(5=2\cdot 2+b\) , откуда \(b=1\) .

Итак, существуют две касательные \(y=2x+5\) и \(y=2x+1\) к графику функции \(y=f(x)\) , параллельные прямой \(y=2x-11\) .

Ответ: \(y=2x+5\) ; \(y=2x+1\) .