Ознакомься с примером решения
Перечислим основные преобразования неравенств с одним неизвестным \(x\) , приводящие к неравенству того же знака, равносильному исходному.
Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую.
Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число.
Применение тождеств.
Возведение неравенства в нечётную степень.
Извлечение из обеих частей неравенства корня нечётной степени.
Логарифмирование показательного неравенства по основанию \(a\) \((a\gt 1)\) , т. е. замена неравенства \(a^{f(x)}\gt a^{g(x)}\) неравенством \(f(x)\gt g(x)\) .
Отметим также основные преобразования неравенств, приводящие к неравенству противоположного знака, равносильному исходному.
Умножение (деление) обеих частей неравенства на отрицательное число.
Логарифмирование показательного неравенства по основанию \(a\) \((0\lt a\lt 1)\) , т. е. замена неравенства \(a^{f(x)}\gt a^{g(x)}\) неравенством \(f(x)\lt g(x)\) .
Отметим, что обычно, применяя преобразования \(1–3\) , не пишут, что полученное неравенство равносильно исходному, а пишут: «Перепишем исходное неравенство в виде...»
Решим неравенство \(\sqrt[3]{x^3-2x^2+4x-5}\lt x-2\) .
Решение.
Возведя неравенство в \(3\) -ю степень, получим неравенство \(x^3-2x^2+4x-5\lt (x-2)^3\) , равносильное первому.
Применяя формулу куба разности, перенося все члены неравенства в левую часть и приводя подобные члены многочлена, перепишем неравенство в виде \(4x^2-8x+3\lt 0\) .
Все решения этого неравенства, а значит, и равносильного ему исходного составляют интервал \(\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right) \) .
Ответ: \(\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right) \) .