Найди все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 5 \cdot 25^{|x|}-(1+25a)\cdot5^{|x|}+5a=0 (6) имеет ровно два корня. Решение. Функция f(x)=5 \cdot 25^{|x|}-(1+25a)\cdot5^{|x|}+5a=0 определена на множестве R для каждого значения a. Она , так как f(-x)=f(x) для любого x \in R. Поэтому если число x_0 — корень уравнения (6), то число -x_0 тоже корень этого уравнения. Обозначим t=5^{|x|}. Тогда уравнение (6) перепишется в виде 5t^2-(1+25a)t+5a=0 (7). Уравнение (7) имеет два корня: t_1= и t_2= . Уравнение 5^{|x|}=5^{-1} корней не имеет. Уравнение 5^{|x|}=5a имеет два различных корня x_0 и -x_0 тогда и только тогда, когда 5a \lt 1, т. е. когда a \gt 0,2. Следовательно, уравнение (6) имеет ровно два корня только когда .

Задание

Заполни пропуски в решении

Найди все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \(5 \cdot 25^{|x|}-(1+25a)\cdot5^{|x|}+5a=0\) (6) имеет ровно два корня.

Решение.

Функция \(f(x)=5 \cdot 25^{|x|}-(1+25a)\cdot5^{|x|}+5a=0\) определена на множестве \(R\) для каждого значения \(a\) . Она [ ], так как \(f(-x)=f(x)\) для любого \(x \in R\) .

Поэтому если число \(x\_0\) — корень уравнения (6), то число \(-x\_0\) тоже корень этого уравнения.

Обозначим \(t=5^{|x|}\) . Тогда уравнение (6) перепишется в виде \(5t^2-(1+25a)t+5a=0\) (7).

Уравнение (7) имеет два корня: \(t\_1=\) [ ]и \(t\_2=\) [ ].

Уравнение \(5^{|x|}=5^{-1}\) корней не имеет. Уравнение \(5^{|x|}=5a\) имеет два различных корня \(x\_0\) и \(-x\_0\) тогда и только тогда, когда \(5a \lt 1\) , т. е. когда \(a \gt 0,2\) .

Следовательно, уравнение (6) имеет ровно два корня только когда [ ].

Похожие

Тот же тест