Заполни пропуски в решении

Найдём все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \(x^2-(3a+1)|x|+2a^2+2a=0\) (3) имеет ровно четыре корня.

Решение.

Функция \(f(x)=x^2-(3a+1)|x|+2a^2+2a\) определена на множестве \(R\) для каждого значения \(a\) .Она [ ], так как \(f(-x)=f(x)\) для любого \(x \in R\) .

Поэтому уравнение (3) имеет ровно четыре корня тогда и только тогда, когда уравнение \(t^2-(3a+1)t+2a^2+2a=0\) (4)имеет два различных положительных корня \(t\_1\) и \(t\_2\) (в этом случае уравнение (3) будет иметь четыре корня: \(t\_1\) , \(t\_2\) , \(-t\_1\) и \(-t\_2\) ).

Уравнение (4) имеет два различных положительных корня \(t\_1\) и \(t\_2\) тогда и только тогда, когда выполнены триусловия: дискриминант \(D\) уравнения (4) [ ], и сумма \(t\_1+t\_2\) , и произведение \(t\_1t\_2\) корней уравнения (4) [ ].

Эти три условия означают, что искомые значения — это только те \(a\) , которые удовлетворяют системе неравенств

\(\begin{cases} (3a+1)^2-4(2a^2+2a) \gt 0, \\ 3a+1 \gt 0, \\ 2a^2+2a \gt 0.\end{cases}\) (5)

Решениями системы неравенств (5) являются все \(a\) из множества \((0; 1) \bigcup (1; +\infin)\) .

Следовательно, для каждого из этих значений \(a\) уравнение (3) имеет ровно четыре корня.