Заполни пропуски

Найди все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \(\dfrac{ax-1}{x+2a}+\dfrac{ax+1}{x-2a}=1\) имеет ровно один корень.

Решение.

При \(a=\) [ ]уравнение не имеет корней. Для каждого значения \(a \not =0\) рассмотрим функцию \(f(x)=\dfrac{ax-1}{x+2a}+\dfrac{ax+1}{x-2a}\) . Она определена на множестве \(D(f)\) всех \(x\) , кроме \(x=2a\) и \(x=-2a\) . Эта функция [чётная|нечётная], так как для любого \(x \in D(f)\) справедливо равенство

\(f(-x)=\dfrac{-ax-1}{-x+2a}+\dfrac{-ax+1}{-x-2a}=\dfrac{ax+1}{x-2a}+\dfrac{ax-1}{x+2a}=f(x)\) .

Поэтому если число \(x\_0\) — корень уравнения, то и число \(-x\_0\) тоже корень этого уравнения. Уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда этот корень нуль и других корней нет. Найдём все значения \(a\) , при каждом из которых число нуль является корнем уравнения. Подставив \(x=0\) в это уравнение, получим, что \(a=\) [ ].

Итак, при \(a=\) [ ]уравнение имеет корень \(x\_0=0\) . Проверим, не имеет ли оно других корней при \(a=\) [ ].

Решив уравнение \(\dfrac{-x-1}{x-2}+\dfrac{-x+1}{x+2}=1\) , убедимся, что при \(a=\) [ ]уравнение действительно имеет ровно один корень \((x\_0=0)\) .