Основано на упр. 17, стр. 15 Найди угол В пространственном четырёхугольнике ABCD: АВ = CD. Докажи, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD (задача 47 учебника). Доказательство. Середины отрезков ВС, AD и AС обозначим буквами M, N и P. Так как отрезок MP — средняя , то MP \parallel , и поэтому угол между прямыми АВ и MN равен углу . Кроме того, PM = \dfrac{1}{2} . Аналогично отрезок PN —, и поэтому PN \parallel и PN = , а угол между прямыми CD и MN равен . Так как AB = CD , то PM = , т.е. треугольник PMN —. Следовательно, \angle = \angle , а это означает, что угол между прямыми АВ и MN равен углу между прямыми , что и требовалось доказать.

Задание

Основанонаупр.17, стр.15

Найдиугол

Впространственномчетырёхугольнике \(ABCD\) : \(АВ=CD\) . Докажи, чтопрямые \(АВ\) и \(CD\) образуютравныеуглыспрямой, проходящейчерезсерединыотрезков \(ВС\) и \(AD\) (задача47учебника).

Доказательство.Серединыотрезков \(ВС\) , \(AD\) и \(AС\) обозначимбуквами \(M\) , \(N\) и \(P\) .Таккакотрезок \(MP\) — средняя[точка \(\triangle ABС\) |линия \(\triangle AСD\) |линия \(\triangle ABС\) ], то \(MP\parallel\) [ ], ипоэтомууголмеждупрямыми \(АВ\) и \(MN\) равенуглу[ ].Крометого, \(PM=\dfrac{1}{2}\) [ ].Аналогичноотрезок \(PN\) — [параллелен \(\triangle AСD\) |средняя линия \(\triangle AСD\) |средняя линия \(\triangle ABС\) ], ипоэтому \(PN\parallel\) [ ]и \(PN=\) [ ], ауголмеждупрямыми \(CD\) и \(MN\) равен[углу \(PNM\) | \(\triangle AСD\) |углу \(ABС\) ].Таккак \(AB=CD\) [по теореме|по условию|по аксиоме], то \(PM=\) [ ], т.е.треугольник \(PMN\) — [равносторонний|равнобедренный|разносторонний].Следовательно, \(\angle\) [ ] \(=\angle\) [ ], аэтоозначает, чтоуголмеждупрямыми \(АВ\) и \(MN\) равенуглумеждупрямыми[ \(AC\) и \(PM\) | \(CD\) и \(MN\) | \(NP\) и \(AD\) ], чтоитребовалосьдоказать.

Похожие

Тот же тест