Основано на стр. 17

Заполни пропуски

Теорема (признак параллельности двух плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно [параллельны|перпендикулярны|не параллельны] двум прямым другой плоскости, то эти плоскости [параллельны|пересекаются|перпендикулярны].

Дано: прямые \(a\) и \(b\) , пересекающиеся в точке \(M\) , лежат в плоскости \(\alpha\) , прямые \(a\_{1}\) и \(b\_{1}\) лежат в плоскости \(\beta\) , \(a \parallel a\_{1}, b \parallel b\_{1}\) .

Доказать: \(\alpha \parallel \beta\) .

Доказательство:

Заметим, что \(a \text{\textbardbl} \beta, b \text{\textbardbl} \beta\) по признаку [перпендикулярности|пересечения|параллельности] прямой и плоскости. Теперь допустим, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) не [параллельны|пересекаются|перпендикулярны], а пересекаются по некоторой [точке|прямой|плоскости] \(c\) . Тогда плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\) , параллельную плоскости [ \(\alpha\) | \(\beta\) ], и пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(с\) . Следовательно, \(\аlpha \parallel \с\) . Но плоскость \(\alpha\) проходит и [через прямую \(a\) |через прямую \(b\) параллельную плоскости \(\beta\) |через прямую \(b\) параллельную плоскости \(\alpha\) ], следовательно, \(b \parallel с\) . Таким образом, через точку \(М\) проходят две прямые [ \(a, b\) | \(a, c\) | \(b, c\) ], параллельные прямой [ ]. Но это невозможно, так как по теореме о [перпендикулярных прямых|параллельных прямых] через точку \(М\) проходит только одна прямая, параллельная прямой [ \(a\) | \(b\) | \(c\) ]. Значит, наше допущение неверно и \(\alpha \parallel \beta\) .

Теорема доказана.